「Eで一様収束ならa.e.でも収束する事を示せ」はどんな問題?

質問

ルベーグ積分での問題です。

Eで一様収束ならa.e.でも収束する事を示せ。

とだけしか書いてない問題です。多分,E⊂R^nの事だと思います。
キチンと書くと
「Lebesgue外測度列{λ*_n}がE⊂R^nで一様収束なら{λ*_n}はa.e.でも収束する事を示せ」

だと推測します。

a.e⊂Eですよね?
だからa.e.でも{λ*_n}が収束するのは当たり前だと思うのですが、、

これは正確にはどのような問題でしょうか?
ルベーグ積分にお詳しい方お教え下さい。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

当たり前のことをきちんと証明する問題です。
こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。

お礼

ありがとうございます。

> 当たり前のことをきちんと証明する問題です。
> こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
> まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。

前者は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)
です。

後者はa.e.で各点収束する事です。つまり
0<∀ε∈R,∀x∈a.e,∃L∈N;(L<n⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)

x∈a.e.は殆ど至る所のx∈Eという意味です。
つまり,Eから零集合らZを取り去った集合,
x∈E＼Zの意味です。

一様収束⇒各点収束
ですよね。

しかも今,
E＼Z⊂Eとなっているわけですから

Eで一様収束するならEで各点収束する。
Eで各点収束するならa.e.(即ちE＼Z)でも各点収束する。

という解釈で大丈夫でしょうか?

回答No.3

rinkun

ANo.2のお礼について。
収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
もう一度、定義を確認してみよう。

お礼

> ANo.2のお礼について。
> 収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
> もう一度、定義を確認してみよう。

ありがとうございます。
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。

{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。

そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E＼F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。

従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。

と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?

補足

すいません。訂正です。

問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。

{f_k}はE上でa.e.収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。

そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,
0<∀δに対し,λ(E＼F)<δで,{f_k}がfにF上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上で殆ど一様収束するという。

なので
仮定より,E⊃∃FはR^nで閉集合で0<∀δ∈Rに対し,λ(E＼F)<δそして{f_k}はfにF上で一様収束。
したがって λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=λ({x∈E＼F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})<δと書ける。
今,δは任意に採ったのでλ({x∈E＼F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0即ちλ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0

となりました。これでいいでしょうか?

回答No.1

arrysthmia

キチンと書くと、
　可測空間 E 上の関数列 f_n(x) が、n→∞ のとき、x∈E について一様に収束するなら、
　f_n(x) が（単純）収束しない x の範囲は、測度 = 0 であることを示せ。
でしょう。

「 a.e⊂E 」って、いったい何ですか？

お礼

遅くなりましてすいません。

a.e.はEから零集合を取り除いた集合を意味しました。よって自動的にa.e.はEの部分集合になるので
a.e.⊂Eと書いてしまいました。

、、、で本題ですが
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。

そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E＼F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。

従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。

と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?