収束の速さ

質問

Xn+1 = Xn ( Xn^2 + 3a) / 3Xn^2 +a

で√aを求められるとき、3次収束を示せ。

という問題なのですが、どのようにしたら
3次収束を示すことが出来るのかがよく分かりません。
また、このとき√aという値は何か関係があるのでしょうか。

Newton法と関係があると思ったのですが、
Newton法は2次収束であるため、違うことが分かりました。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

普通に　Xn+1-√a　を計算すれば＃１のかたの式が導けますよ。帰納法でXn>0となることを使えば（a≠0として）。
なお、調べた限りではK<1の条件はありませんでした（これがあると上記の手順は不可です）。

お礼

無事、解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

未知の事柄だったので調べました。厳密な議論はないようですが参考になれば。
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~s60516/orfm/index.html
の「2.4 Halley法」のようです。

お礼

参考にはなったのですが、Halley法を
この問題にどのようにして適用すればよいのかが
分かりませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

与えられた漸化式が３次収束の定義を満たしているかどうかの確認します。この場合には、

|Xn+1-√a|≦K|Xn-√a|^3 (ただし0<K<1)

となるKの存在を示せばよいのです。

お礼

ということは、Taylor展開を用いればいいのでしょうか？
ありがとうございました。