収束半径

質問

ベキ級数Σa_n x^nの収束半径は簡単に求まりますが、

1.Σa_n x^(n^2)の収束半径なんてのはどうなのでしょうか？
2.Σa_n x^f(n)　f(n)は非線形関数　の収束について一般論は可能なのでしょうか？

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

１についての回答（解答）です。
Σa_nx^n と同じ係数(a_n)について　Σa_n x^(n^2) の収束半径を
求めると理解します。

Σb_nx^nのべき級数において係数を
b_n=a_n^(1/2) (n=1,4,9,16,25,…)
b_n=0 (n≠1,4,9,16,25,…)
と定めると
Σb_nx^n = Σa_nx^(n^2)
となります。このべき級数に対してコーシー・アダマールの公式を適用した
limsup |b_n|^(1/n)=limsup |a_n^(1/2)|^(1/n)
の逆数が収束半径となります。

２については分かりません。でも条件を絞って（たとえば正の値をと
る単調増加関数とか）、ある種の都合のよい関数なら一般化できるか
もしれません。おもしろそうですね。

お礼

コーシー・アダマールの公式はsupをとるのですね。忘れてました。
ありがとうございます。