収束の問題

質問

すごい基礎的な問題だと思うのですが
はずかしながらどうもうまくできないので質問します

実数列{an}n=1～∞がある
bn=|an-(an+1)|とおく
あるa∈Rがあってan→a（n→∞）となるとき
Σ(n=1～∞)bnは収束するか？
収束するなら証明を、そうでないなら反例をあげよ

おねがいします

回答No.2

nanjamonja · ベストアンサー

反例として
a(n+1)-a(n)＝{(-1)^(n-1)}/(2n-1)
となる数列a(n)だと
lim(n→∞）a(n)
＝a(1)+Σ(n=1～∞){(-1)^(n-1)}/(2n-1)
＝a(1)+π/4
で収束しますが
Σ(n=1～∞)|a(n+1)-a(n)|
＝Σ(n=1～∞){1/(2n-1)}
は∞に発散します

お礼

(-1)^(n-1)乗かー
なるほどそれで絶対値なわけだ
どうもありがとうございました

回答No.1

hitomura

b(n)=a(n)-a(n+1)ですから、
　Σ(k=1～n)b(k)={a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+…+{a(n)-a(n+1)}
　　　　　　　　=a(1)-a(n+1)
となります。したがって、
　Σ(n=1～∞)b(n)=lim(n→∞){Σ(k=1～n)b(k)}
　　　　　　　　　=lim(n→∞){a(1)-a(n+1)}
　　　　　　　　　=a(1)-a
となります。

補足

bn=|an-(an+1)|なので
一概にb(n)=a(n)-a(n+1)とはならないと思いますが
どうでしょう？
この縦棒は絶対値の意味でお願いします
ちょっとみにくかったです
すいません