平均値と収束値について

質問

質問が漠然として申し訳ないのですが、
収束値の定義を教えてください。
収束値、平均値、平均値の平均
という概念は異なるものですか？
収束値と平均値の違いがどうも理解できません。

また、収束値と平均値が同一になるということは
あるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.2

F_P_E

こちらこそ至らず、申し訳ございませんでした。

あまり自信がありませんが、いろいろ屁理屈をこねてみたいと思います。ですから、参考程度に。。。

＞ある物の単価の
＞平均値をとって、価格設定することと、
＞収束値をとって、価格設定をすること、
＞というのは意味が異なりますか？

とありますが、やはり平均値と収束値は一般に異なる概念ですので、上の2文の意味は異なると思います。

いろいろ書いては消してを繰り返していますが。。。こんな具体例を考えてはどうでしょう。

現在の原油価格です。ガソリン価格（円/L）の過去数年の平均をとると恐らく130円程度になるでしょうが、現在のガソリン価格の収束値は143円です。

一方で原油価格とは違い、価格変動が小さいある商品の単価を考えた時、変動が小さいので、過去数年の単価の平均値は、現在の単価とほぼ等しいでしょう。このような場合には

＞平均値をとって、価格設定することと、
＞収束値をとって、価格設定をすること

は結果的には一致したといえるでしょう。

＞どちらの方がベターなのでしょうか？

とありますが、やはり商品の置かれている状況に依るのではないでしょうか。一概にはいえません。つまりは社会情勢の的確な判断に委ねられるのでしょう。この意味で先見の目というものが必要なのでしょうね。

質問者さまの”平均値”や”収束値”の定義と、私の考えているものと食い違っているかもしれませんが。

参考になれば幸いです。

再び私の至らないところがあれば、遠慮なく質問なさってください。

よろしくお願いします。

お礼

F_P_E　様

連絡が遅くなりましたが、ご回答ありがとうございました。
大変丁寧で、あほな私でも分るように書いていただいて
感謝感謝です。
数学にはでんで弱いので、また全てを理解したわけでは
ないのですが、なんとなく解決しました。
しかし、また、再燃するかもしれないので、そのときは
何卒よろしくお願いいたします。

本当にありがとうございました。

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

もしかして、確率の大数の法則などを学ばれているのでしょうか？？

収束値、平均値、平均値の平均、すべて異なる概念であると言ってよいです。

たとえば、数列{a_n}のn→∞での値は、それが存在するとき、それを”収束値”と言います。数学の厳密な定義は、解析学から

∀ε>0,∃n_0∈(自然数全体), n>n_0 s.t. |a_n - a|<ε

です。かみ砕いて述べれば、

”収束値aとa_nの差は、nを十分大きくすれば、その差をいくらでも小さくすることができますよ”

ということです。

一方で、

(a_1 + … + a_n)/n ≡ E[n]

は数列{a_n}の”(算術)平均値”です。

また、任意のN個の自然数n_1,…,n_Nを選んできて、

(E[n_1] + … + E[n_N])/N

平均値の平均となるでしょう。

さて、

＞また、収束値と平均値が同一になるということは
あるのでしょうか？

とありますが、考えている状況によってはその値が一致する場合は有得ます。例えば、先程考えた数列{a_n}は独立な試行の測定値であったとしましょう。すると数列{a_n}は母集団のなかから選ばれたサンプル（標本）です。記号を踏襲することにすれば、E[n]はサンプル平均になります。しかし、サンプルの数を十分大きくすれば(つまりnを大きくする)、そのサンプルは十分に母集団と同等になり、サンプル平均E[n]は、真の平均値μ（つまり母集団の平均値）に近づいてゆくでしょう。このとき、

E[n] →(n→∞) μ

のように、平均値E[n]はn→∞でμという収束値に収束します（これが大数の法則の言わんとするところであると思います）。

以上でよろしいでしょうか？わからないところがあれば補足いたします。

補足

早速のご回答まことにありがとうございます。
補足説明をお願いします。質問が重複するかも
知れません。そして、「わからないことがわからない」状態なのでご迷惑をかけますが、お願いします。

学問としてではなく、「価格設定」の際に疑問が生じたものであります。

ある物の単価の
平均値をとって、価格設定することと、
収束値をとって、価格設定をすること、

というのは意味が異なりますか？
どちらの方がベターなのでしょうか？
その理由は何でしょうか？

平均値に基づいて価格を設定したら、
結果として、収束値から算出した価格と
同一になった、
ということはありえるわけですか？
算出までのプロセスは違えど、結果は同じ。