条件収束する級数が任意の実数に収束することについて

質問

教科書に次のような定理を見つけました。

定理10.9
条件収束する級数は任意の値c∈Rに対して
適当に級数を並び替えてcに収束するようにできる。
また、発散するように並び替えることができる。

私はこれを読んで次のような疑問を持ちました。

項a[n]をnで対応させて、次のように記述します。
S1=a[1]+a[2]+a[3]…=123…
S2=a[2]+a[1]+a[3]…=213…
S3=a[2]+a[3]+a[1]…=231…

定理より、Snと任意の実数は対応しますよね。

てことは、右辺の自然数を並び替えた集合も実数に対応するということになりますか？

もしそれができてしまうと、自然数を並び替えた集合の濃度と実数の濃度が等しいことになってしまいます。
これは実際考えてみても相当ありえないこととしか思えません。

どなたか、どこか間違っている箇所があったら教えて下さい。

回答No.7

ibm_111 · ベストアンサー

>この部分でおかしいところは有るでしょうか？

いや別にないです。
実際、濃度の意味で、Snの個数=実数の個数です。

濃度という概念を知ってることは確かなようなので、
結局知りたいことは、

>自然数列と実数の濃度が等しいのですか！良かったらそれを解説しているホームページや本があったら教えて下さい。

ここなのかな？
でもこれはちょっとぐぐれば簡単に出てくると思いますけど・・・
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E4%BB%BB%E6%84%8F%E3%81%AE%E9%83%A8%E5%88%86%E9%9B%86%E5%90%88%E3%80%80%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E3%80%80%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%80%80%E6%BF%83%E5%BA%A6&lr=lang_ja&rlz=1I7GGLT_ja

お礼

んん、なるほど。出た結論は間違ってないということですか・・

自然数列、というか、自然数を並び替えた数字列の濃度が実数の濃度に等しいというのは、かなり受け入れがたいことで混乱しました。

たとえば123456789…と無限に続く自然数の列に対して
実数では小数点をつけて
1.23456789…や
12.3456789…など無限に考えることができますし、

また、自然数を並び替えた数字は、自然数の個数Nとして、N桁であるが、
実数は任意の桁数です。

そしてそもそも実数の個数は不可算無限であると聞きました。
対する、自然数を並び替えた数字の個数は、自然数の個数Nを用いて、N!個であり加算無限個なんじゃないかなって思いまして。（ここらへんが連続体仮説などの話になってくるのでしょうか）

無限や濃度という概念はなんだか混乱しますね。

回答、ありがとうございました。

回答No.6

muturajcp

「定理より、Snと任意の実数は対応」するのは間違っています。
その級数Snは条件収束しません。
条件収束という定理の条件を満たさないので、
定理を適用できません。
条件収束とは、絶対収束しない収束の事です。
自然数の級数は発散するか、
収束するときは絶対収束するので、
条件収束しません。
S=Σ_{n=1～∞}a_nが条件収束するためには
(1)lim_{n→∞}a_n=0
(2)Σ_{n=1～∞}|a_n|=∞
となる事が必要です。
(a_n)が自然数列ならば
(1)と(2)が両方同時に成り立つことはあり得ません

お礼

回答有り難うございます。条件収束の定義は理解しております。

a[n]=(-1)^n*(1/n)と置き換えれば良いと思います。
つまり、
S=1-1/2+1/3-1/4+1/5…
を
S=a[1]+a[2]+a[3]+…
と書いているだけなので、
a[n]自体が自然数列というわけではないです。

a[n]をnと置き換えれば、足し算の順番を完結に表現できると思ったのです。
つまり、
a[2]+a[1]+a[3]+…
と足していったなら、213…と書けばいいと思ったのです。
そしてこれが自然数の並べ替えと等しいというだけで、
a[n]が自然数列というわけではありません。

回答No.5

ibm_111

先の回答者さんたちのコメントはおそらく正しい（ちゃんと見てない）のですが、
質問者さんの意図を鑑みると、つっこむべきところはここでしょう。

>定理より、Snと任意の実数は対応しますよね。

いえ、対応しません。

まず、定理はそんなことは主張していません。
定理は「並び替えることができる」と言っているだけで、
実際の並び替え方までは主張していません。
※証明を見れば並び替え方が分かるかもしれませんが、確認してません。

次に、有限個のa[n]を入れ替えても同じ値に収束します。
これは部分和の定義から明らかです。
したがって、任意の自然数Nに対し、S1=S2=・・・=SNです。
が、この値は一般にはS∞とは異なります。

お礼

確かに対応していませんでした。

しかしです。
条件収束する級数を並べ替えたSの集合はすべての実数を含んでいますよね。

Snの個数≧実数の個数でなければならない。

もし実数の個数が、Snの個数よりも大きかったら、
項を並び替えることで作ることができない実数が存在することになり、それは定理に矛盾するはずです。

この部分でおかしいところは有るでしょうか？
ちなみに並べ替え方についてですが、他のページで見たので紹介しておきます（URLを紛失したので自分の手で書きます）
「1-1/2+1/3-1/4+1/5…
この足し算の順番を並び替えると、その答えが任意の実数にすることができる。とこの定理は言っている。

例えば和を 2 にしたかったら次のようにする。
1+1/3+1/5+…
のように正の項だけを加えていく。そうするとどこかで 2 より大きくなるだろう。

はじめて 2 を超えたら次に -1/2を持ってくる。
さっき最後に足したのは 1/3 よりは小さい数のはずなので、値は2より小さくなる。

それからさっきの続きの数を足していく。また 2 を超えたところで -1/4 してやるのだ。
これを繰り返していくと，和が 2 の無限級数を作ることができる。」

回答No.4

Tacosan

#3 の通りなんだけど, 実数の集合R の濃度は自然数の集合N の濃度を使って書けるよね.

とりあえず「自然数列」はおかしい (「N の順列」の方がまだまし) と自分に突っ込んでおくが.

回答No.3

rinkun

ごく簡単な話ですが、0以上1未満の任意の実数の小数展開表記を0～9の整数の列と考えると・・・。

回答No.2

Tacosan

いや, 実のところめっちゃくちゃ簡単です. たとえば, 次のようにして得られるすべての無限数列 (a_1, a_2, a_3, ...) の濃度はどのくらいになりますか?
任意の自然数 k に対し {a_(2k-1), a_(2k)} = {2k-1, 2k}, つまり a_(2k-1) と a_(2k) は 2k-1, 2k の順か 2k, 2k-1 の順.

お礼

ええーと、2^N、ですか・・・？
ごめんなさい、どういうことか察せないです。

回答No.1

Tacosan

「自然数を並び替えた集合」ってなんだろう.

今対比すべきは「自然数列の集合の濃度」と「実数の集合の濃度」ですよね. で, これは実際に等しかったりします.

お礼

123456…と無限に続く自然数を並び替えたものです。
213456…
231456…
234156…
などなど。その集合を自然数を並び替えた集合と呼びました。
これは数列を並び替えたものに対応すると思いまして。

自然数列と実数の濃度が等しいのですか！良かったらそれを解説しているホームページや本があったら教えて下さい。