収束について

質問

n^(-1/3)　rateで収束するのは，
遅くて良くないということを習いましたが，
それはどうしてですか？
あと，早くて良い収束ってのは，
どんなrateで収束するのがよいのでしょうか？
この収束がわかることで，
なぜ漸近効率がわかるのか
教えていただけるとありがたいです．
よろしくお願い致します．

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

収束が悪いとか良いとかのとらえ方は貴方の考えてる問題によって変わってくるでしょうが

Σ1/n ： 収束しない
Σ1/n^2 ：　 1/nで収束
Σ1/n^3 ：　 1/n^2　で収束
Σ1/n^4 ：　 1/n^3 で収束

です。1/nで収束と書いた意味は和を１０００まで取れば真の値から大体1/1000くらいずれていますという意味です。1/n^2で収束の場合は1/(1000)^2=1/1000000　位の誤差があります。　　そこで誤差が１％程度ならいいというなら
Σ1/n^2 の場合にはn=100まで足す必要があります。なぜなら誤差は1/(100)になりますから。Σ1/n^4　ならn=１０まで取れば1/(10)^3=1/1000=1%　ですから、これで十分です。「収束が早いから10項まで取れば十分」という風に使います。

問題にあるn^{-1/3=1/n^{1/3}ですがこれは収束が遅いというより収束しないといった方が良いでしょう。収束するかしないかはΣ1/n^i でi>1なら収束、n≦1なら発散です。