代数の体論の計算問題について教えてください。

質問

ご教授、宜しくお願いします。
問い
次の数は、有理数体Q上で、代数的であることを証明せよ。
(1)√３＋³√２
(2)√２＋√３+√５

解答
(1)√３＋³√２は、ｘ＾６－９ｘ＾２－４ｘ＾２＋２７ｘ＾２－３６ｘ－２３ の解である。

(2)√２＋√３+√５ は、x＾８-４０X＾６+３５２X＾４-９６０X＾２+５７６ の解である。

ある値aが解となるような方程式を見つけることが、代数的証明ぼ方針であることは、わかりましたが、(1)と(2)の値が、上記の方程式を満たすことがわかるためには、どのように解けばよいのでしょうか。宜しくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

(1) について

3 の平方根を y 、2 の立方根を z 、これらの 和を z とします。すると、次の連立方程式が得られます。

　　x - (y + z) = 0
　　y^2 – 3 = 0
　　z^3 – 2 = 0

これらから y と z を消去して、x だけの式にすればよいのです。 1 番目の式から z = x – y となるので、これを　3 番目の式に代入して、

　　y^2 – 3 = 0
　　(x - y)^3 – 2 = 0

となります。つぎに、これらを y の多項式とみて、終結式をとれば、 y が消去されて

　　x^6 - 9x^4 - 4x^3 +27x^2 - 36x - 23 = 0

となります。

お礼

Thank you for answering my question.