代数系、体について。

質問

代数系の「体」についてです。有限体とかの体です。

体は演算「＋」と「＊」について可換である群を成し、積について分配律がなりたっているものです。
そこで、体Ｆについて、a∈Ｆで、和の零元を0_F とし、積の単位元を1_Fとします。

1. a*0_F = 0*a_F = 0_F を証明せよ。
2. (-a)*b = a*(-b) = -(a*b)　を証明せよ。(-bはbの加法に関する逆元)
という問題があるのですが、

************* 自分なりの回答 *************
1)
a = a*1_F =a * (1_F + 0_F) = a + a*0_F
a∈Ｆであるから、和の逆元a'が存在し、この両辺にこれを加算すると
a + a' = a + a*0_F + a'
0 = a*0_F

2)

a*(-b) + a*b = a(-b + b) =a * 0_F = 0_F (∵(1))

この両辺にa*bの加法の逆元-(a*b)を加算し、

a*(-b) + a*b -(a*b) = 0_F -(a*b)

a*(-b) = -(a*b)

(-a)*bについても同様

********************************

こんな風な感じでいいのでしょうか？回答がないため、あっているのか心配です。

回答No.5

noname#24477 · ベストアンサー

くどくなりますが
＃３の体とはについて

体と言ったとき
可換体と非可換体（斜体）を合わせて体という。
これは流儀の問題で私はこちらで教わりました。
ただし体を考えるとき可換体をイメージすることが
多いようです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E8%AB%96

お礼

ここにお礼をまとめさせていただきます。

体についてはやっとこさイメージがつかめてきた感じです。ですが、群、環、体という概念がまだはっきりとみえてきていないのでこれからも勉強して生きたいと思います。ありがとうございました～

回答No.4

keyguy

定理１
体Ｘの２つの元ｘと０’についてｘ＋０’＝ｘならば０’＝０である

定理２
体Ｘの２つの元ｘとｘ’についてｘ＋ｘ’＝０ならばｘ’＝－ｘである

（１）ａ・０＝０の証明
ａ＋ａ・０＝ａ・１＋ａ・０＝ａ・（１＋０）＝ａ・１＝ａ
よってａ＋ａ・０＝ａ
よって定理１によりａ・０＝０

（２）ａ・（－ｂ）＝－（ａ・ｂ）の証明
ａ・ｂ＋ａ・（－ｂ）＝ａ・（ｂ＋（－ｂ））＝ａ・０＝０
よってａ・ｂ＋ａ・（－ｂ）＝０
よって定理２によりａ・（－ｂ）＝－（ａ・ｂ）

回答No.3

keyguy

体といえば積にも和にも可換である
和に可換だが積に可換とは限らないものは斜体という

定理
体Xの元ｘについてXの元０’が存在してｘ＋０’＝ｘならば０’＝０である
（自明ではないが体の定義から自明的に証明される）

以下は積と和について可換だから積和順序を気にしなくて良い

（１）ａ・０＝０の証明
ａ＋ａ・０＝ａ・１＋ａ・０＝ａ・（１＋０）＝ａ・１＝ａ
よってａ＋ａ・０＝ａ
よって定理によりａ・０＝０

（２）ａ・（－ｂ）＝－（ａ・ｂ）の証明
ａ・ｂ＋ａ・（－ｂ）＝ａ・（ｂ＋（－ｂ））＝ａ・０＝０
よってａ・ｂ＋ａ・（－ｂ）＝０
よってａ・（－ｂ）＝－（ａ・ｂ）

回答No.2

noname#24477

あなたの解答で基本的にはあっていると思いますが
細かいことを言わせてもらいます。

まず１）は問題の書き間違いかな？　この程度はご愛嬌。
a*0_F＝0_F*a＝0_F

２）については、足して０になること、つまり
a*b＋ｘ＝０　となるｘが加法の逆元の定義ですから
あらためて-(a*b)を両辺に足さなくても
a*b＋a*(-b)＝0_F　より直ちに
a*(-b)＝-(a*b)　でもかまわないと思います。

なお＃１さんの可換に関してですが
加法（２つの演算の片方）は可換でよかったのではないですか？
積まで可換なら可換体です。今は
１）が問題としてあるということは可換体でなく一般の
体でしょう。

回答No.1

hinebot

1)について

体Fは可換とは限らないですよね？（違ってたらごめんなさい）
なので
a + a' = a + a*0_F + a'
の部分、左から加算して
a' + a = a' + a + a*0_F
とすべきではないでしょうか。

2)はいいと思います。