代数学なのですが

質問

代数学の問題で解き方がわからない問題があるのですが。

ｍが平方数でないとき、Ｋ＝Ｑ（√ｍ）は、Ｑ上の２次拡大であることを示せ。

なんですが、結局は［Ｑ：Ｑ（√ｍ）］＝２であることを証明すればいいのでしょうか？解法を教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

Hyper30 · ベストアンサー

K　が　Q　上二次拡大である，の定義は
[K:Q]=2　が成り立つことです．

つまり　[K:Q]:=dim K=2 (ここでdimはQ上の次元をあらわす)
を示せばいいのです．

これは　
B:={1,√m} がKのQ上の基底であること(*)
を言えばよいのです．

ですから

１．K　の任意の元は　a+b√m　a,bはQの元　と書ける．
　　(BはKの生成系だということ)
２．BはQ上一次独立．
　　(１．で書き方が一意だということ)

の二つを示せば(*)が言えて証明が終わります．

お礼

なるほど。どうもありがとうございましたm(__)m