連続関数

質問

関数の連続性を証明するところがわからないので質問します。
xが無理数ならば、f(x)=0とし、xが有理数で既約分数p/q(ただしq>0)のかたちに書けるときは、f(x)=1/qとする。
このように定義された関数fは無理数xで連続、有理数xで非連続である。その証明はやさしい。
xが無理数とし、εを任意の正数とする。1/q≧εすなわちq≦1/εとなる正整数qは有限個しかないから、δ>0を十分に小さく選ぶと開区間(x-δ,x+δ)には、上の条件を満たすqにたいする既約分数p/qは存在しない。したがって任意のy∈(x-δ,x+δ)に対して
|f(y)-f(x)|=1/q<εとなる。fはxで連続である。一方、有理点のどんな近傍にも無理点が存在し、そこでfの値は0だから有理点では連続ではない。
自分は具体的な数としてx=√2、ε=0.4とすると、q≦2.5となり、q=1,2。 p/q=1/1,2/1,1/2,3/2などいろいろあげられますが、δ=0.01とすると(√2-0.01,√2+0.01)=(1.404・・・,1.424・・・)にはp/qはふくまれません。
ここからがわからないところなのですが、x±δは無理数に有理数を足したり引いたりした無理数であることがあるので、yが無理数になり、f(y)=0となり|f(y)-f(x)|=1/q<εが成立しないような場合があると思います。自分は本があっているなら、f(x)=0より、
f(y)=1/qになると予想しました。どなたか任意のy∈(x-δ,x+δ)に対して|f(y)-f(x)|=1/q<εとなる。を説明してください。お願いします。

回答No.2

tmppassenger

横から突っ込んでおく。
> 既約分数になる具体例
「既約分数になる」というのはちょっと変な表現で、分数というのはあくまで数の表記法なので、「既約分数の形に書ける」でないとおかしい。で、「既約分数の形に書ける」というのは結局「有理数である」事と同値なので、

『xが無理数で、 δ>0を十分に小さくすると（任意の） y∈ (x-δ,x+δ) が（全て）有理数になる』

ようなxがあるかと言えば、そのようなxは存在しない。どんな無理数x、如何なる δ>0をとっても、 (x-δ,x+δ) の中には無理数と有理数が（無限に）存在する。

というのも、まず N> 1/δ となるような正の整数Nを適当にとっておくと、先ず有理数が無限に存在する事をみるには、無理数xの小数表記は無限小数になるから（なぜなら有限小数の形でかけるならxは有理数になってしまう）、その小数表記を小数M桁目（ただしMはM≧Nなる整数） で打ち切ったものを y_Mとすれば、y_M は有理数で、かつy_M達のなかで相異なるものは無限個存在し（なぜから相異なるものが有限個しかないならxは結局有限小数の形でかけることになってしまう）、かつ、0<|x-y_M| < 1/(10^M) ≦1/(10^N) < 1/N < δ である故、y_Mはすべて (x-δ,x+δ) の中に含まれる。

一方、x自身が無理数だったから、 z_M = x + 1/M （ただしMはM≧Nなる整数) は全て無理数、つまり既約分数の形には書けない数であるが、0<x < z_M ≦ x+1/N < x + δ である故、z_Mはすべて (x-δ,x+δ) の中に含まれる。

回答No.1

muturajcp

いいえ
任意のy∈(x-δ,x+δ)に対して|f(y)-f(x)|=1/q<ε
となりません

任意のy∈(x-δ,x+δ)に対して
yがp/qという有理数の場合,|f(y)-f(x)|=1/q<ε
yが無理数の場合,|f(y)-f(x)|=0<ε
となる
のです

お礼

場合分けするというヒント、ありがとうございます。

補足

よかったらお返事ください。
xを無理数とすると、x±δでδ>0を十分に小さくするとy∈(x-δ,x+δ)のときｙが既約分数になる具体例を説明してくださいお願いします。