体の標本について（代数学）

質問

代数学の問題でわからないのがあります。

kを体とする。体の標数ch(k)をとする。このとき、
・ch(k)=0ならばＱ⊂k
・ch(k)=pならばＺ/pＺ⊂k
（ただし、Ｑ：有理数、Ｚ：整数、p：素数）
となるはずであることを示せ。

なんですが、どのように示せばいいのかわかりません。考え方を教えてください。
もしあれなら参考になるＵＲＬでもいいので教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.1

jmh · ベストアンサー

たぶん「ｋには、Ｑ（またはＺ／ｐＺ）と同型な部分体が存在する」と主張しているのだと思います。

ch(k)=0ならばＱ⊂k
　→もしかしたら、準同型な単射:Ｑ→ｋを作ればよいのだと思います。
　こんなｆ：
　　ｆは、Ｑのｎ／ｍをｋの（ｎ個の１の和）／（ｍ個の１の和）にうつす。
　を作って、ｆが準同型な単射であることを証明します。
ch(k)=pならばＺ/pＺ⊂k
　→おそらく、準同型な単射:Ｚ／ｐＺ→ｋを作ればよいのだと思います。
　こんなｆ：
　　ｆは、Ｚ／ｐＺのｎをｋの１＋１＋…＋１（ｎ個の１の和）に移す。
　を作って、ｆが準同型な単射であることを証明します。

注：勘です。

お礼

な～るほど。さっそく試してみます。ありがとうございましたm(__)m