代数学

質問

nを自然数とし、ξ_n=e^(2πi/n)とおく時、

cos(2π/n)はＱ(有理数)上代数的であることを示せ。

という問題です。
√の中に（２＋√２）が入っているものが代数的であることは容易に分ったのですがこれはどのように考えればいいかわかりません・・・。どなたかお願いいたします。

回答No.2

yumisamisiidesu · ベストアンサー

>√の中に（２＋√２）が入っているものが
>代数的であることは容易に分ったのですが
>これはどのように考えればいいかわかりません

　x=√(２＋√２）
⇒x^2=2+root(2)
⇒x^2-2=root(2)
⇒(x^2-2)^2=2
⇒x^4-4x^2+2=0
i.e.　Q-多項式の根になっている

回答No.1

ojisan7

一見して、素直な問題のように見えますね。ξ_nは１のべき根ですから、Ｑ上代数的ですよね。同様に、ξ_(-n)も代数的ですよね。ヒントはここまでとしておきます。この後は自分で考えて下さい。

がんばってください。