微分方程式をラプラス変換用いて解く

質問

f(t)={t^2 0≦t≦1
　　　{1 t＞1

y"(t)+y(t)=f(t) , y(0)=0. y'(0)=0
y(t)を求めよ。

という問題なのですが、
まずf(t)を単位関数で表してからラプラス変換して、
それをy"(t)+y(t)=f(t)のf(t)の部分に代入すると思うのですが…
わからなくて…
解答いただけるとありがたいです。
どなたかお願いいたします。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#2～#5です。
A#5の補足質問の回答と訂正です。

>{1-e^(-s)}(2/s^4)
>になってしまいます。
>私の間違いでしょうか・・・？
そう、質問者さんの間違いです。
>Y(s)=[2/{(s^3)(1+s^2)}]+[1/{s(1+s^2)}-2/{(1+s^2)s^3}]e^(-s)
Y(s)=[2/{(s^3)(1+s^2)}]+[1/{s(1+s^2)}-(2+2s+s^2)/{(1+s^2)s^3}]e^(-s)
…（＊）
と訂正します。分母は(s^3)です。

あなたの間違いは
u(t)やu(t-1)をt^2と分離してラプラス変換して、それを掛け合わると
いったラプラス変換の計算でない「間違った計算」をすることからきています。

時間関数の積
f(t)g(t)のラプラス変換はF(s)G(s)にはなりません。
ラプラス変換の基礎ができていないことからきていますね。
(t^2){u(t)-u(t-1)}のラプラス変換ですが、定義に基づいてやってみると

L{(t^2)u(t)}=∫[0→∞] (t^2)u(t)e^(-st)dt
=∫[0→∞] (t^2)e^(-st)dt
=L{t^2}=2/s^3

L{(t^2)u(t-1)}=∫[0→∞] (t^2)u(t-1)e^(-st)dt
=∫[1→∞] (t^2)e^(-st)dt
t-1=t'の変換をすると
=∫[0→∞] (t'+1)^2)e^(-s(t'+1))dt'
={e^(-s)}∫[0→∞] ((t'+1)^2)e^(-st')dt'
=L{(t+1)^2}{e^(-s)}=(2+2s+s^2){e^(-s)}/s^3
となります。

従って
L{(t^2)(u(t)-u(t-1))}={2-(2+2s+s^2)e^(-s)}/s^3
＞=2{1-e^(-s)}/s^3
ではありませんでしたので訂正しておきますね。

この訂正で
＞y(t)={-2+(t^2)+2cos t}u(t)+{(3-(t^2)-3cos t}u(t)]|t→(t-1)
＞={-2+(t^2)+2cos t}u(t)+{(3-(t-1)^2-3cos(t-1)]u(t-1)
は次のように変わります（A#5の訂正）。

（＊）を逆変換してy(t)を求める。
y(t)={-2+(t^2)+2cos(t)}u(t)
+{2-(t^2)-2t-2cos(t)+2sin(t)}u(t)|t→(t-1)
={-2+(t^2)+2cos(t)}u(t)+{3-t^2-2cos(t-1)+2sin(t-1)}u(t-1)
となります。

お礼

遅くなり申し訳ありません。
何とか基礎から理解しなおして最後まで解けるようになりました。

本当にありがとうございます！

回答No.5

info22

#2,3,4です。
＞手順５）　部分分数分解してみました。
＞結果をまとめると、
＞Y(s)=[(-2/s^2)+(2/s^3)+((2s)/(s^2/1))]+
＞[{(1/s)-((s)/(s^2+1))}-{(-2/s^2)+(2/s^3)+((2s)/(s^2+1))}]e^(-s)
間違っています。
Y(s)=[(-2/s)+(2/s^3)+(2s/(1+s^2))]+
+[(3/s)-(2/s^3)-(3s/(1+s^2))]e^(-s)

＞手順６）　Y(s)のラプラス逆変換y(t)を求める。
＞y(t)=-2t+t^2+2cost+{(1-cost+2t-t^2-2cost)e^(-s)}
＞y(t)=-2t+t^2+2cost+{(1+2t-t^2-3cost)e^(-s)}
＞　途中で間違えがなければ大丈夫だと思うのですが。
手順５）で間違っていますが
手順６）でもe^(-s)の逆変換が間違っています。
e^(-s)は遅延要素ですので、逆変換では「t→t-1」なる
時間を遅らせることをします。

y(t)=(-2+t^2+2cos t)u(t)+{(3-t^2-3cos t)u(t)]|t→(t-1)
=(-2+t^2+2cos t)u(t)+{(3-(t-1)^2-3cos(t-1)]u(t-1)

最後に
出てきた解を元の微分方程式の左辺に代入して右辺となれば合っている
ことが確認できます。
さらに、#3で提示した別解も暇があったらやってみてください。

お礼

突然申し訳ありません。

手順３についてなんですが…

Y(s){(s^2)+1}={1-e^(-s)}(2/s^3)+(1/s)e^(-s)
=(2/s^3)+{(1/s)-(2/s^3)}e^(-s)
Y(s)=[2/{(s^3)(1+s^2)}]+[1/{s(1+s^2)}-2/{(1+s^2)s^3}]e^(-s)
と回答いただいたのですが。
もう一度解きなおしてみると…
f(t)=(u(t)-u(t-1))t^2がどうしても、
　　 {1-e^(-s)}(2/s^3)になるということが理解できなくて…
　　　u(t)をラプラス変換すると1/s
u(t-1)を変換すると、(e^(-s))/(s)
t^2は2/s^3になると思うので、
　　　{1-e^(-s)}(2/s^4)
　　　になってしまいます。
　　　私の間違いでしょうか・・・？

補足

回答ありがとうございました。

手順５で間違っていましたね…
もう一度やり直してみたら回答と同じ答えになりました。

手順６の逆変換は手順５からできました。
実は今までe^-sはそのまま残してしまっていたので、非常に参考になりました。

#３もやってみます。
本当に詳しい解説ありがとうございました。

回答No.4

info22

#2,#3です。
A#3の補足質問の回答
＞手順３）y"(t)+y(t)={u(t)-u(t-1)}(t^2)+u(t-1)
＞　　　　をラプラス変換すると、
＞　　　Y(s)(s^2+s)={(1/s-e^-s/s)*2/s^3}+e^-s/s
左辺も右辺も間違いです。
＞　　　　(2/s^4)-(2e^-s/s^4)+(e^-s/4)
＞となると思うのですがどうでしょうか…？
間違いです。
　Y(s){(s^2)+1}={1-e^(-s)}(2/s^3)+(1/s)e^(-s)
=(2/s^3)+{(1/s)-(2/s^3)}e^(-s)
Y(s)=[2/{(s^3)(1+s^2)}]+[1/{s(1+s^2)}-2/{(1+s^2)s^3}]e^(-s)

＞手順４以降の部分分数分解などはここが解ればできると思います。
やってみて下さい。
分からなければ、質問者さんの解答を補足に書いて質問して下さい。

補足

解説本当にありがとうございました。
左辺も違いましたね…

手順４）
Y(s)=[2/{(s^3)(1+s^2)}]+[1/{s(1+s^2)}-2/{(1+s^2)s^3}]e^(-s)
ここまでは理解できました。

手順５）　部分分数分解してみました。
　　　　結果をまとめると、
Y(s)=[(-2/s^2)+(2/s^3)+((2s)/(s^2/1))]+
[{(1/s)-((s)/(s^2+1))}-{(-2/s^2)+(2/s^3)+((2s)/(s^2+1))}]e^(-s)

このようになりました。

手順６）　Y(s)のラプラス逆変換y(t)を求める。
　　　y(t)=-2t+t^2+2cost+{(1-cost+2t-t^2-2cost)e^(-s)}
y(t)=-2t+t^2+2cost+{(1+2t-t^2-3cost)e^(-s)}
となりました。
　途中で間違えがなければ大丈夫だと思うのですが。
何度も質問に答えていただき申し訳ありませんでした。

回答No.3

info22

#2です。
A#2に書いた解法の手順以外に
別の解法手順もあります。
[別解]の手順
手順1)0≦t＜1の場合についてまず解く。ラプラス変換Y(s)を求める
手順2)Y(s)の逆変換y(t)(0≦t＜1)を求める。
手順3)y(1-),y'(1-)を求める。
手順4)y(1+),y'(1+)を求める。
手順5)1≦tの場合について解く。ラプラス変換Y(s)を求める。
手順6)Y(s)の逆変換y(t)を求める(1≦t)。
としても解けます。

さて、A#2の補足質問についての回答
t≧0の範囲で考える場合
手順1)f(t)={u(t)-u(t-1)}(t^2)+u(t-1)
手順2)y"(t)+y(t)={u(t)-u(t-1)}(t^2)+u(t-1)
となります。
ここまで理解してから、この先も手順に沿ってやってみて下さい。
分かる所まで補足で解答を書いて下さい。そして分からない箇所が
あれば再度質問して下さい。

[別解]の場合は
手順1)f(t)=u(t)t^2,F(s)=2/s^3
Y(s)s^2 +Y(s)=2/s^3
Y(s)=2/{(s^3){(s^2)+1}]
この先の手順も考えて見てください。

補足

解説本当にありがとうございました。

手順2まで理解できました。
わかりやすい説明ありがとうございます

手順３）y"(t)+y(t)={u(t)-u(t-1)}(t^2)+u(t-1)
　　　　をラプラス変換すると、
　　　　Y(s)(s^2+s)={(1/s-e^-s/s)*2/s^3}+e^-s/s
となると思うのですが…
　　　　左辺はまとめました。
　　　　右辺をまとめると、
　　　　(2/s^4)-(2e^-s/s^4)+(e^-s/4)
となると思うのですがどうでしょうか…？

　　手順４以降の部分分数分解などはここが解ればできると思います。

回答No.2

info22

丸解答を求めるのはマナー違反になります。

ヒント
＞まずf(t)を単位関数で表してからラプラス変換して、
＞それをy"(t)+y(t)=f(t)のf(t)の部分に代入すると思うのですが…
そうではありません。
正しい手順は以下の通りです。

手順1)　f(t)をu(t)(単位ステップ関数)を使って表す。
　この位は簡単にできるでしょうね。
手順2）それをy"(t)+y(t)=f(t)のf(t)の部分に代入する。
手順3)　両辺を各項毎にラプラス変換する。
手順4)　Y(s)を求める。
手順5)　Y(s)を部分分数に分解する。
手順6)　ラプラス変換の公式を利用してY(s)の逆変換y(t)を求める。

この手順に沿って解答を作成して、補足に書いて下さい。
そして分からない箇所だけ質問して下さい。

補足

遅くなり本当に申し訳ありません。
はじめてでしたので…
今後はマナー違反のないように気をつけます。

手順１）t*U(t)+U(t-1)になると思うのですが…
　　　　恥ずかしながらこの時点であまり自信がありません。

手順２）仮に手順１のu(t)があっていると考えて。
　　　　y"(t)+y(t)=t*U(t)+U(t-1)
手順３）s^2Y(s)+sY(s)=1/s^2*e^-s/s+e^-s/s
となると思うのですがt*U(t)のラプラス変換がよくわかっていません…

回答No.1

guuman

f(t)をu(t)（単位階段関数）であらわしたものを補足に書け

補足

遅くなり本当に申し訳ありません。

t*U(t)+U(t-1)になると思うのですが…
あまり自信がありません。