微分方程式 ラプラス変換

質問

微分方程式を解く際のラプラス変換の問題で分からない問題があり、教えていただきたいです。

(1)y' + y = 2y (y(0)=1)

(2)y" + 2y' + y = 0 (y(0)=y'(0)=1)

どちらも部分分数展開の係数を決定するところがよくわかりません。
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.1のコメントについてです。

　部分分数分解は通分の逆をやるだけの易しい計算です。

> 2/{ s^2 * (s+1) }

ならば
　　a/(s^2) + b/(s+1)
を通分してみて、分子が2になるようにa,bを決めれば良い。得られた結果を見れば、もう１回部分分数分解を適用する必要があることが分かるでしょう。（やってみてのお楽しみ）

> (s+3) / (s+2)^2

　こっちは部分分数分解じゃなくて、単に
　　s/(s+2)^2 + 3/(s+2)^2
とやるだけです。

　なお、このサイトで「部分分数分解」を検索すれば、どっさり出てきます。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

drmuraberg

(1)の問題間違っていませんか？
(1)y' = y (y(0)=1)
となりますから、回りくどい書き方をしなくとも良いと思いますが。

ラプラス変換の公式
L{y'(x)}=sY(s)-y(0)
L{y"(x)}=s^2*Y(s)-s*y(0)-y'(0)
を使って、(1),(2)式をNo.1の方が言われるように書き換えてから
始めてください。
Y(s)はy(x)がラプラス変換されたものです。

お礼

申し訳ありません、右辺２ｘでした。

回答No.2

alice_44

どちらも、初等的な求積が簡単なので、
ラプラス変換は不要そうです。

お礼

回答ありがとうございます。
簡単に解ける問題ですが、あえてラプラス変換でときたかったのです。

回答No.1

stomachman

> 部分分数展開の係数を決定するところ

まずはラプラス変換したところまでを補足に書いて下さいな。

お礼

回答ありがとうございます。
（１）は右辺２ｘ(t)で考えてますすいません。

補足

回答ありがとうございます
そこまで記載しておくべきでした。申し訳ありません。

（１）

Y(s) = 2/{ s^2 * (s+1) } - 1/(s+1)

（２）

Y(s) = (s+3) / (s+2)^2

まではできました。