大学院入試過去問題（ラプラス変換・微分方程式）

質問

下記の問題の解法がわかりません。

関数f(x)のラプラス変換F(s)を次のように定義する。

F(s)=∫f(t)*exp(-st)dt　　　積分区間は0から∞

以下の問いに答えよ。

（１）関数g(t)が次のように与えられるものとする。
g(t)=(2/π)*∫cos(t*tanz)dz　　　積分区間は0から(π/2)
g(t)のラプラス変換G(s)を求めよ。

（２）関数f(x)が次の方程式
f''+2*f'+3f=g(t)　　　　（f'',f'はｔによる微分です）
および初期条件
f(0)=1,f'(0)=-2
を満足するものとする。ラプラス変換F(s)を求め、その逆変換f(t)を求めよ。

（１）からさっぱり分かりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.6

reiman

「公式」という言葉を外します。
部分分数分解したらそれを積分するだけです。

補足

ありがとうございます。

自信ありの回答の割りに超関数や公式などという言葉を使っており、回答者さんが本当に理解しているのか若干なぞです。

回答No.5

reiman

部分分数分解したら不定積分公式が待っています。

お礼

ありがとうございます！
助かりました！

補足

すいません、公式って何ですか？

回答No.4

reiman

ラプラス変換の対象は超関数ですから積分順序の変更は大丈夫でしょう。
後は、ｙ＝ｔａｎｚと変数変換すれば不定積分の公式が使えますから出きるはずです。

補足

何度もありがとうございます！

dz=(1/(1+y^2))dy
より

s/((s^2+y^2)(1+y^2))

をyについて０から∞まで積分となると思うのですが、出来ません。
公式があるのですか？

回答No.3

reiman

まず、被積分関数をラプラス変換してみるということです。
といっても公式を使う場合には公式に当てはめるだけなのでできるでしょう。

補足

ありがとうございます。
確かに容易に出来ますが
s/(s^2+(tanz)^2)

となったあとの置換積分も力不足で出来ませんでした。

またラプラス変換と与式の積分は順序を入れ替えても大丈夫ということなのでしょうが、それはｔとｚが無関係だからですか？

回答No.2

reiman

ｇ（ｔ）をラプラス変換するときにzでの積分をを後回しにして
cos(t*tanz)
を先にラプラス変換した後、
ｚでの積分はｙ＝tanzと置換積分によって行うということです。

補足

ありがとうございます！

具体的にどうなるのでしょうか？

回答No.1

reiman

cos(t*tanz)をラプラス変換すれば積分しやすくなるでしょう。

補足

ありがとうございます！

ですが、すみませんが、自分には意味がよく分かりません。