この微分方程式をラプラス変換を用いて解く方法

質問

この問題を教えてください。
f ''(t)+4f(t)=3cost , f(0)=0 , f ' (0)= 0

ヘビサイドの解法を用いると

f ''(t) + 4f(t)=3cost , f(0)=0 , f ' (0) = 0　　（＊）
f(t) = ￡{f(t)}とおく、
(*)の両辺をラプラス変換する。
￡{f ''(t)}-4￡{f(t)}=3・s/s^2+a^2
s^2f(s)-sf(0)-x '(0)-4f(0)=3・s/s^2+a^2
f(0)=0, f '(0)=1を代入して、整理する。
(s^2-4)f=1+4s/s^2+a^2

これより先の展開がわからないので教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>f(t) = ￡{f(t)}とおく、
間違い。
正：F(s)= ￡{f(t)}

>￡{f''(t)}-4￡{f(t)}=3・s/s^2+a^2
間違い。
>f''(t) + 4f(t)=3cost
なので
正：￡{f''(t)}+4￡{f(t)}=3s/(s^2 +1)

>s^2f(s)-sf(0)-x'(0)-4f(0)=3・s/s^2+a^2
間違い。
正：s^2 F(s)-sf(0)-f'(0)+4F(s)=3s/(s^2 +1)

>f(0)=0, f'(0)=1を代入して、整理する。
間違い。
正：f(0)=0, f'(0)=0

>(s^2-4)f=1+4s/s^2+a^2
間違い。
正：(s^2 +4)F(s)=3s/(s^2 +1)

間違いがあり過ぎです。
もっと、中学、高１レベルの基礎的な計算力が必要です。

F(s)=3s/((s^2 +1)(s^2 +4))
=s/(s^2+1) -s/(s^2+4)

後はcosのラプラス変換の公式を適用して逆変換してください。

回答No.1

Tacosan

ラプラス変換は大文字で書くのが慣例だと思うが....
さておき, こんなもの一本道なので「展開が分からない」という理由がさっぱり理解できない. F を (s の) 有理関数で表して逆変換するだけ.