ラプラス変換・微分方程式

質問

微分方程式についてふと思った疑問です。

y'' + (w^2)y' = f(t), y(0)=a, y'(0)=v

という微分方程式で、両辺ラプラス変換してやって、

(s^2)Y(s) - sa - v + (w^2)Y(s) = F(s)

・・・

と計算を進めていきますが、

y(0) = a, y'(0) = v
という初期条件が、仮に
y(1) = a, y'(1) = v

だとしたらどのように計算すればよいのでしょうか。
今のところはラプラス変換を形式的にしか理解していないので、もしこうなったらどうするんだろうと疑問に思ってしまいました。

(手持ちの参考書では、全てy(0)=..., y'(0)=...,という条件になっています）

回答No.5

guuman · ベストアンサー

y"(t)+(w^2)・y'(t)=f(t),y(1)=a,y'(2)=v

の場合はさらに簡単

y(t)・h(t)を1,2階微分してまず
(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)
(y(t)・h(t))"=y"(t)・h(t)+y'(0)・δ(t)+y(0)・δ'(t)
であり、これをラプラス変換して
s・L[y(t)・h(t)](s)=L[y'(t)・h(t)](s)+y(0)
s^2・L[y(t)・h(t)](s)=L[y"(t)・h(t)](s)+y'(0)+y(0)・s
これをY(s)≡L[y(t)・h(t)](s)として整理すると
L[y'(t)・h(t)](s)=s・Y(s)-y(0)
L[y"(t)・h(t)](s)=s^2・Y(s)-y'(0)-y(0)・s
…(*)

y"(t)・h(t)+(w^2)・y'(t)・h(t)=f(t)・h(t)
だからF(s)≡L[f(t)・h(t)](s)としてこれをラプラス変換して(*)を使って整理すると
s^2・Y(s)-y'(0)-s・y(0)+w^2・Y(s)=F(s)
これによりY(s)をもとめ逆フーリエ変換して
y(t)・h(t)を求める
この求めた式において
y(1)=aかつy'(2)=vとする連立方程式を解けば
y(1)とy(2)が求まりy(t)・h(t)が求まる

お礼

追加質問にまで答えていただき、
さらには詳しい途中結果・計算方法まで示して頂きまして、
本当にありがとうございます！

まだまだわからない部分もところどころあるのですが、
これからじっくり見ていこうと思います。

回答No.4

guuman

両側ラプラス変換ならばできました

y"(t)+(w^2)・y'(t)=f(t),y(-1)=a,y'(-2)=v

y(t)・h(t+2)を1,2階微分してまず
(y(t)・h(t+2))'=y'(t)・h(t+2)+y(-2)・δ(t+2)
(y(t)・h(t+2))"=y"(t)・h(t+2)+y'(-2)・δ(t+2)+y(-2)・δ'(t+2)
であり、これをラプラス変換して
s・L[y(t)・h(t+2)](s)=L[y'(t)・h(t+2)](s)+y(-2)
s^2・L[y(t)・h(t+2)](s)=L[y"(t)・h(t+2)](s)+y'(-2)+y(-2)・s
これをY(s)≡L[y(t)・h(t+2)](s)として整理すると
L[y'(t)・h(t+2)](s)=s・Y(s)-y(-2)
L[y"(t)・h(t+2)](s)=s^2・Y(s)-y'(-2)-y(-2)・s
…(*)

y"(t)・h(t+2)+(w^2)・y'(t)・h(t+2)=f(t)・h(t+2)
だからF(s)≡L[f(t)・h(t+2)](s)としてこれをラプラス変換して(*)を使って整理すると
s^2・Y(s)-y'(-2)-s・y(-2)+w^2・Y(s)=F(s)
すなわち
s^2・Y(s)-v-s・y(-2)+w^2・Y(s)=F(s)
これによりY(s)をもとめ逆フーリエ変換して
y(t)・h(t+2)を求める
この求めたしきにおいて
y(-1)=aとすればy(-2)が求まる

つまり初期値のうち最も古い時間に着目してそれ以降の解をラプラス変換にて求めるのです

この手の微分方程式を求める方法には
(1)両側ラプラス変換
(2)ヘビサイドの記号法
(3)特性方程式による方法
の3つが有ります

両側ラプラス変換は万能ですが片側ラプラス変換は無力ですね

回答No.3

guuman

y(1)=a, y'(2)=v
と、yとy'に初期値を与える値が異なる場合はどう対処すればよいのでしょうか。:

残念ながらこの場合はラプラス変換でやる方法は無力になります
この場合にはヘビサイドの記号法（D)を使って一般解を求める方法を取るべきでしょう
その他無限の過去に０でない関数を求めることもできません
ものごとには始まりがあるから強制的に過去には0だったとしても現実問題に対応できるのです
両側ラプラス変換でも過去にさかのぼるごとに急激に0に収束するが前提です

ところでf(t)・h(t)を両側ラプラス変換したものが片側ラプラス変換です
片側ラプラス変換では物事の始まりを0としているのですが両側ラプラス変換では有限の過去ならばいつが物事の始まりであってもいいわけで便利です
微分・積分のラプラス変換がきれいになることも優れている点です

回答No.2

guuman

書き直し

y'' + (w^2)y' = f(t), y(0)=a, y'(0)=v
は
y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
の間違いでは？

y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
も
y"+w^2・y=f(t),y(1)=a,y'(1)=v
も解くのは両側ラプラス変換が楽です
以下ラプラス変換はすべて両側ラプラス変換とする

h(t)をヘビサイド関数とすると
h(t-1)を微分方程式の両辺に掛けてラプラス変換するのです
(y・h(t-1))'=y'・h(t-1)+y(1)・δ(t-1)
(y・h(t-1))"=y"・h(t-1)+y'(1)・δ(t-1)+y(1)・δ'(t-1)
だから
Y(s)≡L[y(t)・h(t-1)]としこれらをラプラス変換して
s・Y(s)=L[y'・h(t-1)](s)+y(1)
s^2・Y(s)=L[y"・h(t-1)](s)+y'(1)+s・y(1)
F(s)≡L[f(t)・h(t-1)]とする
y"+w^2・y=f(t)の両辺にh(t-1)をかけて両辺をラプラス変換すると
L[y"・h(t-1)](s)+w^2・L[y・h(t-1)](s)=L[f(t)・h(t-1)]　　<---ここ
よって
s^2・Y(s)-y'(1)-s・y(1)+w^2・Y(s)=F(s)
Y(s)を求めてそれをラプラス逆変換すれば
y(t)・h(t-1)が求まるのです

一方
y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
の場合は

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)
(y(t)・h(t))"=y"(t)・h(t)+y'(0)・δ(t)+y(0)・δ'(t)
だから
Y(s)≡L[y(t)・h(t)]としこれらをラプラス変換して
s・Y(s)=L[y'・h(t)](s)+y(0)
s^2・Y(s)=L[y"・h(t)](s)+y'(0)+s・y(0)
F(s)≡L[f(t)・h(t)]とする
y"+w^2・y=f(t)の両辺にh(t)をかけて両辺をラプラス変換すると
L[y"・h(t)](s)+w^2・L[y・h(t)](s)=L[f(t)・h(t)]
よって　　<---ここ
s^2・Y(s)-y'(0)-s・y(0)+w^2・Y(s)=F(s)
Y(s)を求めてそれをラプラス逆変換すれば
y(t)・h(t)が求まるのです

両側ラプラス変換方式では微分のときに初期値が入らずきれいです
また公式をほとんど覚えなくてもいいのです
L[f'(t)](s)=s・L[f(t)](s)
L[f"(t)](s)=s^2・L[f(t)](s)
です

回答No.1

guuman

y'' + (w^2)y' = f(t), y(0)=a, y'(0)=v
は
y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
の間違いでは？

y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
も
y"+w^2・y=f(t),y(1)=a,y'(1)=v
も解くのは両側ラプラス変換が楽です
以下ラプラス変換はすべて両側ラプラス変換とする

h(t)をヘビサイド関数とすると
h(t-1)を微分方程式の両辺に掛けてラプラス変換するのです
(y・h(t-1))'=y'・h(t-1)+y(1)・δ(t-1)
(y・h(t-1))"=y"・h(t-1)+y'(1)・δ(t-1)+y(1)・δ'(t-1)
だから
Y(s)≡L[y(t)・h(t-1)]としこれらをラプラス変換して
s・Y(s)=L[y'・h(t-1)](s)+y(1)
s^2・Y(s)=L[y"・h(t-1)](s)+y'(1)+s・y(1)
F(s)≡L[f(t)・h(t-1)]とする
y"+w^2・y=f(t)の両辺にh(t-1)をかけて両辺をラプラス変換すると
L[y'・h(t-1)](s)+w^2・L[y・h(t-1)](s)=L[f(t)・h(t-1)]
よって
s^2・Y(s)-y'(1)-s・y(1)+w^2・Y(s)=F(s)
Y(s)を求めてそれをラプラス逆変換すれば
y(t)・h(t-1)が求まるのです

一方
y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
の場合は

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)
(y(t)・h(t))"=y"(t)・h(t)+y'(0)・δ(t)+y(0)・δ'(t)
だから
Y(s)≡L[y(t)・h(t)]としこれらをラプラス変換して
s・Y(s)=L[y'・h(t)](s)+y(0)
s^2・Y(s)=L[y"・h(t)](s)+y'(0)+s・y(0)
F(s)≡L[f(t)・h(t)]とする
y"+w^2・y=f(t)の両辺にh(t)をかけて両辺をラプラス変換すると
L[y'・h(t)](s)+w^2・L[y・h(t)](s)=L[f(t)・h(t)]
よって
s^2・Y(s)-y'(0)-s・y(0)+w^2・Y(s)=F(s)
Y(s)を求めてそれをラプラス逆変換すれば
y(t)・h(t)が求まるのです

両側ラプラス変換方式では微分のときに初期値が入らずきれいです
また公式をほとんど覚えなくてもいいのです
L[f'(t)](s)=s・L[f(t)](s)
L[f"(t)](s)=s^2・L[f(t)](s)
です

お礼

詳しいご回答、ありがとうございます。

> y"+w^2・y=f(t),y(0)=a,y'(0)=v
> の間違いでは？

ごめんなさい、おっしゃるとおりでした＾＾；

ヘビサイド関数って何に使うんだろう？
って思っていたのですが、その移動性を利用するのですね。

すみません、もうひとつよろしいでしょうか。
今回は両辺にh(t-1)を掛けていますが、では、
y(1)=a, y'(2)=v
と、yとy'に初期値を与える値が異なる場合はどう対処すればよいのでしょうか。