ラプラス変換を用いて微分方程式 － ステップ関数

質問

下記の問題で、なぜ、いきなりステップ関数 u(t) が出てきたのか理由を教えて下さい。

ラプラス変換を用いて次の微分方程式の解を求めよ。

dy/dt + 3y = f(t)

模範解答
※ステップ関数をu(t)と記す。

与えられた微分方程式をラプラス変換すると

　　　　　sY(s) - y(0) + 3Y(s) = F(s)

整理すると

　　　　　Y(s) = { F(s) + y(0) } / ( s + 3 )

ラプラス逆変換して

　　　　　y(t) = f(t) * { e^(-3t) * u(t) } + y(0) * e^(-3t) * u(t)
　　　　　　　　= ∫[0,t] f(τ) * e^{ -3(t-τ) } dτ + y(0) * e^(-3t) * u(t)

・・・と本に書いてあります。(私の回答は u(t) を除けば正解でした。)

ただ、ステップ関数はこのラプラス変換の章に入ってすぐにちょっと説明しただけで、
ここ最近の例題の答えにはまったくステップ関数が出てきていませんでした。
例えば、

ラプラス変換を用いて次の微分方程式の解 y(t) を求めよ。

　　　　　(d^2 y)/(dt^2) - 3 dy/dt + 2y = f(t)

という、一つ前の例題の場合、答えは

　　　　　y = ∫[0,t] f(τ) * [ e^{ 2(t-τ) } - e^(t-τ) ] dτ
　　　　　　 + { y'(0) - y(0) } * e^(2t)
　　　　　　 + { 2y(0) - y'(0) } * e^(t)

でした。似たような問題ですが、こちらにはステップ関数 u(t) がありません。

＃今回のメインの問題の答えの左辺はy(0) = …、
＃この問題の答えの左辺はy = …ですね。
＃（しかも、問題分には「y(t) を求めよ」と書いてあるのに、です）。
＃これは誤植でしょうか？

・・・ということで、いつ、どういう場合にステップ関数 u(t) が必要になるのでしょうか？
どうか説明をお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

片側ラプラス変換では 逆変換で得られた関数 y(t) は t<0 で 0 です。
つまり厳密にはステップ関数を用いた記法が正しいです。

ただ、解の定義域を t >= 0 と定めてしまえば、ステップ関数を用いない
書き方も「あり」でしょう。実際はステップ関数をわざわざ記述することは
珍しいと思います。
＃信号遅延などでステップ関数が必要な場合は別です。

お礼

なるほど、厳密にはいつもステップ関数を書いた方が正しいんですね。
t<0 で 0 と明示的に示せますからね。
そして、きっとこの本は今まで簡単にするために t>=0 と暗に定義していたのが、章の最後になって急に厳密にしてみた、…そういう感じでしょうね。
では、残りの問題もすべてステップ関数を用いた形で答えてみます。
分かり易い説明でした。
ありがとうございました！