空間ベクトルｒについて

質問

a,b,c,d を空間ベクトルとして、a+b+c+d=0 (零ベクトル) , |a|=|b|=|c|=|d|= 1 であるとき、
内積 (a+b)・(b+c)= 0 となることを示したいのですが、その方法がわかりません。
どなたか、その方法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

a+b+c+d=0より
b+c=-(a+d)
(b+c)・(b+c)=-(a+d)・(-(a+d))=(a+d)・(a+d)
b・b+c・c+2b・c=a・a+d・d+2a・d
|b|^2+|c|^2+2b・c=|a|^2+|d|^2+2a・d
|a|=|b|=|c|=|d|=1より
1+1+2b・c=1+1+2a・d
∴ b・c=a・d …(★)

(a+b)・(b+c)=b・b+a・b+a・c+b・c
=|b|^2+a・b+a・c+b・c
=1+a・b+a・c+b・c
(★)より
=1+a・b+a・c+a・d
=1+a・(b+c+d)
a+b+c+d=0よりb+c+d=-aなので
=1-a・a
=1-|a|^2
=1-1
=0

回答No.2

151A48

参考まで
a+b+c+d=0　より　a=-(b+c+d)
|a|^2 =|b+c+d|^2
1=3+2(bc+cd+db)　となるので
bc+cd+db=-1
これより　(a+b)(b+c)=(-c-d)(b+d)=-1-(bc+cd+db)=-1-(-1)=0

ベクトルの→，内積の・は全て略してあります。意を汲んでお読みください。