ベクトル空間など

質問

(1){An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 = 0, a≧2
　の時=0の時、≧0の時の２つ、ベクトル空間かどうか調べよ。
　ベクトル空間でないときその理由を述べよ。

(2)Aがエルミート行列の時その固有値は実数であることを示せ。
　その時異なる固有値a≠bのそれぞれの固有空間
　ker(a-A),ker(b-A)は直交することを示せ。

(3)Wをn次元ベクトル空間Uの部分空間とするとき
　dimW = dimU ⇔ W=U　を示せ

(2)は実数であることは示せたんですが後半がわからないです…
どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

tinantum

(1){An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 = 0, a≧2
　の時=0の時、≧0の時の２つ、

問題の意図がよくわかりません．『a』とか『の時=0の時、≧0の時の２つ、』をより詳しく説明してくれますか？

(2) 異なるa≠b固有値に属する固有ベクトルをそれぞれ，x,yとする．つまり，A x = ax, A y = ay．ベクトルx,yの内積を(x,y)と表すと，
a(x,y) = (Ax,y) = (x,Ay) = b(x,y)
を得る（a,bが実数であることに注意．また，2番目の等式ではAがエルミートであることを用いている）．
よって，(a-b) (x,y) = 0となるが，a≠bより，(x,y)=0を得る．
これより，ker(a-A),ker(b-A)が直交することが示された．

(3) dimW = dimU ⇒ W=Uを示します（逆は明らか）．
仮定より，Wにはn個の一次独立なベクトルがある:
e1,e2,...,en ∈ W. 任意のx∈Uに対し，
x,e1,e2,...,enは一次従属である（もしこれらn+1個のベクトルが一次独立だとすると，Uにはn+1個の一次独立なベクトルが存在することになってしまい，dim U = nに矛盾）．
特に，任意の複素数 c0,c1,c2,...,cnに対し，
c0 x + c1 e1 + … + cn en = 0 … (1)
であるならば，c0 ≠ 0を得る（c0=0であるならば，(1)は　c1 e1 + … + cn en = 0　となるため，e1,...,enの一次独立性より, c1 = c2… = cn = 0を得て，結局 x,e1,...,enが一次独立になってしまい，矛盾）．よって，(1)より，
x = -c1/c0 e1 - … - cn/c0 en
を得る．e1,...,enはWの元であり，Wは部分空間であるから，x∈Wを得る．よって，U ⊂ W. U ⊃ Wは明らかなので， U = W.

補足

表記ミスしてしまいました。
まず、回答していただきありがとうございます。

(1){An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 = 0, n≧2
{An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 ≧ 0, n≧2
　の２つであります。これがベクトル空間かどうかという問題でした。
　ベクトル空間でないときその理由を述べよ。

という事です、表記ミス申し訳ありません…