ベクトル空間:次元

質問

（問題）京大
Ｆを体とし、Ｆの元からなる列｛Ａn｝n=1　to　∞でＡn+2＝Ａn+1　+　Ａn　（ｎ
Ｖは項別の和とスカラー場でＦ上のベクトル空間とみなす。ＶのＦ上の次元を求めよ。
という問題ですが次の回答
（解き方）
Ｆ上のベクトル空間はＯＫです。0ベクトルは（０，０，０、-----------）
　ひとつのベクトルとして、(1)ａ≠０、（０，ａ，ａ、ａ、-------）
(2)もうひとつはａ≠０,（ａ，b、a+b,a+2b、2a+3b、3a+5b、---------）から各項をａで割った（1，b/a、1+b/a,1+2b/a、2+3b/a、3+5b/a、---------）は、(1)と独立なベクトルでb/aをｃとおけば（1，ｃ、1+ｃ,1+2ｃ、2+3ｃ、3+5ｃ、---------）となり、(1)以外のベクトルはこう表現できるので、２次元である。Ｆが実数の場合はこれでいいのかと思いますが一般の体Ｆではどうすべきでしょうか。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

一般の体でもまったく一緒だと思います。漸化式から、要するに初項と第二項を決めれば数列が決定するので、二次元なのは明らかです。（０，ａ，ａ、ａ、-------）は漸化式を満たさないと思いますが、基底は、(1,0,…)と(0,1,…)にとれば十分でしょう。1次独立は明らかですし、任意の(a,b,…)はa(1,0,…)+b(0,1,…)と書けるので全体を張っているのも分かります。なお1は体Fの(積の)単位元です。

お礼

回答どうもありがとうございました。そうですね(a,b,…)はa(1,0,…)+b(0,1,…)と書ける.私もこれを見つけおもしろいなと思いました。
フィボナッチ数列の値も理由がなんとなく納得できました。どうもありがとうございます。ところで標数Ｐのときはどうなんでしょうか。

補足

（０，ａ，ａ．ａ,ａ、ａ）は（０，ａ，２ａ．３ａ,５ａ、８ａ）が正しく（０，１，２，３，５，８、－－）と同向きですね。すいません。

回答No.2

adinat

どこにも割り算は使っていません。ゆえに体の標数は関係ないのです。たとえば二次方程式の解の公式や三次方程式などについては、2で割ったり3で割ったりするから、標数が2や3では困るという事情が生じたりしますが。

お礼

そうですね。どうもありがとうございました。