ベクトル空間 次元 について

質問

前回質問（数ベクトル空間　ベクトル空間）させて頂いた内容です。
http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer

前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。

ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。

Vはベクトル空間であるとします。
x,y,z∈Vについて、
(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間
(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間
(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間
と理解しました。

R^2は2次元ベクトル空間
R^3は3次元ベクトル空間
R^nはn次元ベクトル空間
という説明がウェブ上で多々ありますが、
これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係
ないと理解しました。

ここまでで間違いありますでしょうか？
間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。

*****以下、質問内容*****

x,y,z∈Vについて、
(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間
(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間
(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間
ですが、
(1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・

私のイメージなのですが、
(1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか？
3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間
と言ったイメージなのですが・・・

R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、
次元とは無関係ですよね？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

なんというか，なにをどう考えたら
こういう解釈にいたるのか疑問でしかない・・・

>Vはベクトル空間であるとします。
>x,y,z∈Vについて、
>(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間
>(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間
>(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間
>と理解しました。

どれも間違え．Vから三つのベクトルを選択して
それらが0かどうかだけでVの次元なんかは判断できません．

例：V=R^3
x=0 y=(1,1,1), z=(2,2,2)
(2)によるとVは二次元，実際はVは3次元

>R^2は2次元ベクトル空間
>R^3は3次元ベクトル空間
>R^nはn次元ベクトル空間
>という説明がウェブ上で多々ありますが、
>これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係
>ないと理解しました。

まったくの間違え．関係ないどころか，
一番素朴な，おそらくベクトル空間の理論の一番最初の次元の定義は
この成分の個数を次元というものだったのでしょう
といっても批判はうけないでしょう．

ひとまず・・・
「ベクトル空間の定義」
「ベクトル空間の部分空間の定義」
「ベクトルの一次独立・一次従属の定義」
「ベクトル空間の基底の定義」
「ベクトル空間の次元の定義」
ここらあたりを，順番にきちんと言葉と式で理解しましょう．
そうでなければ次元なんてものは理解できません．

順番を無視して次元だけ理解するなんてことはできません

>3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間
>と言ったイメージなのですが・・・

結果としては正しいですが，そこへの道筋は
質問の文章からしてきっと間違えています．

>R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、
>次元とは無関係ですよね？

R^3の部分空間の定義そのものは直接は次元とは無関係ですが，
きとんと考えれば，次元との関係はでてきます．

お礼

ご回答ありがとうございます。

「ベクトル空間の定義」
「ベクトル空間の部分空間の定義」
「ベクトルの一次独立・一次従属の定義」
「ベクトル空間の基底の定義」
「ベクトル空間の次元の定義」
を順を追ってもう一度勉強します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

＞R^2は2次元ベクトル空間
＞これは、
＞ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係

ベクトル空間の成分の数というのはいいたいことはわかりますが変。

また、2次元ベクトル空間の2次元は、ベクトル空間の次元でしょう。

{(x, y, z)| x + y + z = 0} というベクトル空間はベクトルの
成分は3個になっているけど、ベクトル空間の次元は２です。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間

意味不明です。

x, y, z はスカラーで

{(x, y, z)|x∈R、y=0,z=0}

じゃないですか？

回答No.1

Tacosan

「間違い」以前に「何をどう考えたらそこにたどり着くのか」がさっぱり分からない.

そもそも
「x,y,z∈Vについて、～と理解しました。」
と書いている割に「x, y, z の選び方」について一言も触れないのはなぜ?