ベクトル空間の次元の問題です。

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

今、川久保先生の本で線形代数を勉強しているのですが、
証明が省かれていて分からない問題があります。
方針だけでもよいので、よろしくお願いします。
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【問題】
ベクトル空間Vがベクトルa_1,a_2,・・・・,a_n
によって生成される時、
Vの次元は、a_1,a_2,・・・・,a_nの中から選びうる
１次独立なベクトルの最大個数に等しいことを示せ。
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よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

川久保先生の本は読んだ事がないのですが、別の本には、次のような定理と定義があります。

［定理］
　ベクトル空間（有限次元）から取れる独立なベクトルの最大本数は、ベクトルのとり方によらず、一定。

［定義］
　ベクトル空間（有限次元）から取れる独立なベクトルの最大本数の事を、そのベクトル空間の次元と言う。

　この二つを使うと、【問題】は明らかになるんですが、たぶん上の定理を「自分で解け」という事でしょうか？。

　方針としては、Ｖの別の生成系、b_1，b_2，・・・，b_mを持ってきて、a_1，a_2，・・・，a_nを、b_1，b_2，・・・，b_mの線形結合で表し、一方の独立最大本数Ｎ_aが、他方の独立最大本数Ｎ_bに等しくなかったら矛盾する、とやると思います。
　具体的には、行列も整備しないままで、逆行列をとるような計算になります。
　もっと上手い方法があれば、自分も知りたいです。

お礼

お礼、締め切りが遅くなってしまいまして申し訳ありませんでした。
この度はどうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

【問題】となっているのなら、各自で解きましょう。という意味ではないのですか？

方針は特にありません。普通に論理を展開するだけです。