ベクトルが3次元実ベクトル空間を動くとき

質問

以下の行列Aについて、すべての問いに答えなさい。
　　|1　4　0　|
A = |1　0　2　|
　　|0　2　-2 |

(1) 行列Aの固有値を求めなさい。

(2) 行列Aの各列をベクトルa1,a2,a3で以下のように表す。
　　　A=(a1,a2,a3)
これらの3個のベクトルの従属関係を式で示しなさい。

(3) ベクトルxが3次元実ベクトル空間(線型空間)V全体を動くとき、これによってつくられる点の集合を
　　　W1={Ax|x∈V}
とする。この集合がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。

(4) ベクトルpをp=t(1,2,1)とする。ベクトルxがx・p=0となるような3次元実ベクトル空間Vを動くとき、xがどのような図形を描くか答えなさい。なお、t()は転置を表し、x・pはxとpの内積を表す。

(5) (4)のようにxが動くとき、集合
　　　W2={Ax|x∈V,x・a=0}
がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。

という問題があるのですが、
(1):λ1=3, λ2=0, λ3=-3
(2):略
(1),(2)は合ってる自信があります。

(3)
　　|1　4　0　|　 　|1　4　0　|
A = |1　0　2　|　= |0　-4　2 |
　　|0　2　-2 |　 　|0　0　0　|
これはrank=2となり、xをかけてもrankは変わらないので、
次元は２

(3)は次元は合ってる気がするのですが、答え方が間違ってるような気がします。
(4),(5)の解き方が分かりません。

(4)はx・p=0なので直交することは分かるのですが、これをどう使うかが分かりません。

(5)は(4)が解けないと解けないのですが、(4)が解けたとしてもaというよく分からないの出てきてて、解けなくなってしまいそうです。

どなたか(3),(4),(5)を解いて下さる方いらっしゃいませんか？

回答No.5

noname#111804

|1　4　0　|
A = |1　0　2　|
　　|0　2　-1 |

のとき
｜A-λI｜
＝｜(1-λ）　4　　　　０｜
　｜１　（０－λ）　　２｜
　｜０　　　２　（-1-λ）｜

これより
λ（λ＾２－９）＝０がでてくる。
よって
λ１＝＋３
λ２＝－３
λ３＝０

回答No.4

arrysthmia

あ、本当だ。
det A = 4 ≠ 0 の誤記でした。
例によって陳謝訂正。

問題の A が書き間違いで、
実は det A = 0 だった
というのなら、(5) は、
Aa = 0 かどうかで場合分け
すればよいのです。

回答No.3

Tacosan

dim A じゃなくて det A ですね＞#1.
さておき, 蛇足ですが「行列式はすべての固有値の積に一致する」ので, 行列式が 0 ではないということは 0 が固有値になることはないということも意味します. というわけで, 残念ながら (1) は間違っている (略されてるけどそのあおりを受けてたぶん (2) も間違っている) ことが分かります.
... あぁ, トレースを見るだけでその固有値は間違っていることがわかるんだ....

回答No.2

settheory

面倒なので、ベクトルは横のままで書きます。
x=(x_1,x_2,x_3)　と成分表示すると、
Ax=x_1a_1 +x_2a_2 + x_3a_3 となります。
なので、a_1 a_2 a_3　で張られる空間の次元を求めるということですから、この三つのうち、何個まで線型独立になるかを求めれば良いのです。（それが行列の階数に一致します。そういう定理があります。）

（４）(1,2,1)・(x,y,z)=0 を満たすような点（x,y.z）全体がどうなっているかを求めればよいのです。鉛筆や棒を机に立てると、棒と机の面が直交してるように見えると思います。（1,2,1）を棒と思って、それが垂直に立つような平面を考えてみてください。

（５）確かにaが不明です。aではなくてpなのではないでしょうか？
W2={Ax|x∈V,x・p=0} であれば、xの範囲を（４）で求めたところに限ることになります。つまり、W_2は（４）で求めた図形をAで写したもので、それの次元を求めよ、という問題ではないでしょうか。
aに関して見落としているところがなければ、上のような問題と思うしかないでしょう。

回答No.1

arrysthmia

(3)
略解の書き方は何だかオカシイが、
方針はそれでよいと思います。
dim W1 = dim Span A = rank A です。
ただし、rank の計算が違います。
dim A = 4 ≠ 0 なので、
rank A = 3 です。

(4)
問題文からしてヘンなのですが…
「ベクトルxがx・p=0となるように3次元実ベクトル空間Vを動くとき」
のミスプリではありませんか？
x・p=0 の式を成分で表示してみましょう。
この小問は、中学生の範囲です。

(5)
小問 (4) と関連があるとすれば、
W2 = { Ax | x∈V, x・p=0 } のミスプリかもしれませんが、
a を 0 でない任意のベクトルと考えても
結果は変わりません。
小問 (3) で見たように、A は正則ですから、
W2 の次元は、(4) の答えと同じです。

…という訳で、小問 (1) も違っていますね。

補足

ごめんなさい。私の写し間違いでしたm(_ _)m
　　|1　4　0　|
A = |1　0　2　|
　　|0　2　-2 |
ではなく、
　　|1　4　0　|
A = |1　0　2　|
　　|0　2　-1 |
でした。

これだと(1),(2),(3)はどうでしょうか？
(4)はarrysthmiaさんの言う通り「ベクトルxがx・p=0となるように3次元実ベクトル空間Vを動くとき」の間違いでした。
x・p=(x,y,z)・(1,2,1)=x+2y+z=0
としたはいいものの、ここからどうすればいいか分からなくなってしまいました。この式が原点を通る平面ということは分かります。
(5)は(4)の答えと同じとありますが、(3)の間違いでしょうか？(4)では次元を答えていませんし…。