ベクトル空間の基と次元（線形代数）

質問

「次の解空間の次元と一組の基を求めよ。」という問題です。
W=｛x∈R^5 | x1-2x2+x3+2x^4+3x^5=0
2x1-4x2+3x3+3x4+8x5=0｝
係数行列を簡約化するのは、わかります。
｜1 -2 1 2 3 |　⇒　　　| 1 -2 0 3 1 |　・・・(1)
｜2 -4 3 3 8 | 　 | 0 0 1 -1 2 |　・・・(2)
これから、次元は2とはならないのでしょうか。（質問１）
このあと、
x = | 2c1-3c2-c3|
| c1 |
|c2-c3 |
|c2 |
|c3 |
という式がでてきますが、これがどこからでてくるのかわかりません。（質問２）
この後、
ベクトルa1=(2 1 0 0 0 ),a2=(-3 0 1 1 0 ),a3=(-1 0 -2 0 1 )
を定義しています。
これらは1次独立である、としています。これもよくわかりません。（質問3）
出典は、「入門線形代数」（培風館）です。
よろしくお願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1),(2) から
x1-2x2+x3+2x4+3x5=0 ...(3), 2x1-4x2+3x3+3x4+8x5=0 ...(4)

>次元は2とはならないのでしょうか。（質問１）

なりません。
次元= 5 - 2 = 3 (#1)
となります。

>x = | 2c1-3c2-c3|
| c1 |
|c2-c3 |
|c2 |
|c3 |
>という式がでてきますが、
>これがどこからでてくるのかわかりません。（質問２）

途中式がないのでわかりません。
x が5次元(x1,x2,x3,x4,x5)で, (3),(4) の関係があるから
独立な基底は(#1)より 3個のみ。 ... (#2)

従って
x=(x1,x2,x3,x4,x5)=(c1,c2,x3,c3,x5) ...(5) とすると

c1-2c2+x3+2c3+3x5=0, ...(3)' 2c1-4c2+3x3+3c3+8x5=0 ...(4)'

x3,x5 を求めると
x3=2c1-4c2+7c3 , x5=-c1+2c2-3c3 ...(6)

(5) に代入する
x=(c1,c2,2c1-4c2+7c3,c3,-c1+2c2-3c3)
=c1(1,0,2,0,-1)+c2(0,1,-4,0,2)+c3(0,0,7,1,-3)

基底: (1,0,2,0,-1), (0,1,-4,0,2), (0,0,7,1,-3) ...(#3)
(基底は,1組とは限りません。(5)での x1~x5の内, c1,c2,c3 をどれにするかで
別の組が得られます)

>これらは1次独立である、としています。これもよくわかりません。（質問3）

(#3) は 基底なので, 1次独立です。

お礼

info33さま
早速のレス有難うございます。全て理解できました。