（再質問）円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にＡさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには？

質問

半径 R の円形の池があり、中心にＡさんがいます。
Ａさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りＡさんを捕まえようと最善の方法で走ります。
Ａさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
（鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。）

さて、Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
どのような戦略をとれば、最短時間で逃げられるでしょうか？
（ v/V > 1/π のときは自明ですので、v/V ≦ 1/π とします。）

これは、
http://okwave.jp/qa3304342.html
のうち、(1) と (3) が解決したので、まだ解けていない (2) を質問したものです。

私は今考え中です。
(3) の結果を利用して、(2) の答えがうまく導き出せないか、と思っています。

難問かもしれませんが、回答、もしくはヒント等頂ければ助かります。
解くには時間がかかるかもしれませんので、
その場合は「考え中です」とでも回答して頂ければよいと思います。

回答No.1

hiccup · ベストアンサー

脱出計画書

最短時間を表すのは無理があるので、無駄なくぴったり捕まってしまうことを目指します。

脱出可能な v のとき、A さんが最適なコースを進行中に鬼が反転するのは、鬼にとっては不本意ながらも悪あがきに過ぎません。だから鬼は一定の方向に回るものとしてよいですね。すると、中心から延びる曲線と、直線の組み合わせになるでしょう。

中心から延びる曲線とは、鬼と角速度を同じにしながら、つまり鬼と同じ直径上にいながら最も効率よく鬼から遠ざかる曲線のことです。これは A さんの角速度を鬼と対等以上でいることができる領域内にありますが、v によってはこの境界の手前で一直線に逃げるほうが時間を短縮できます。

では、この曲線ですが、鬼の角速度が V/R なので ( r cos(V/R)t , r sin(V/R)t ) とすると
(dr/dt)^2 + (V/R)^2 r^2 = v^2　ですから
r = (v/V)R sin(V/R)t
境界の半径は r = (v/V)R なので、境界到達時間は t = πR/2V です。

次に、鬼と同じ直径上の r = (v/V)R の位置にいて、そこからは直線となります。
鬼を ( -R , 0 )、A さんを ( (v/V)R , 0 )、鬼は正の回転、ぴったり捕まえる場所を ( Rcosφ , Rsinφ ) とします。すると
√{(v/V)^2 -2(v/V)cosφ + 1} = (v/V)(π+φ)
を満たします。このφを使って、(π+φ)R/V がかかる時間です。
φ= 0 のとき v/V = 1/(1+π) 、これは直径上を逃げるものですが、ここが境界と半径上の脱出との拮抗点となるでしょう。

よって場合分けは次のようになります。

case 1：（下限）< v/V < 1/(1+π)　のとき　完全な曲線と直線
case 2： 1/(1+π) < v/V < 1/π　のとき　曲線を途中で切り上げて直線の最短経路
case 3： 1/π < v/V　のとき　直線
（等号はどちらかに入れます）

case１のときは私には表現できず、case２のときは (R/V)arcsin(V/v - π) + πR/V 秒でしょうか。

どうも、私はあちらでお世話になりました。こちらですでに ID を持っていたので出づらかったのです。(1) の解決、おめでとうございます。f(r) 、私の解釈での df(r)/dr ですが、最適になるよう作られていますね。あそこでは疑問が残るようなことを言っていましたが、この場をお借りして訂正します。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅くなりました。

しばらくの間回答がつかなかったので、かなり心配して、
どうしようか、もっと答えやすい形で質問を立ち上げようか、
と考えていたのですが、回答がついてほっとしました。

でも、よくよく考えてみると、
私は 9/10 の 6:49 に投稿して、
大抵の人は 9/10 の夜に質問を見て、
それから回答を考えると、やっぱり 9/12 の夜くらいにはなりますね。
私があせりすぎですね。

さて、hiccupさんの回答は、
言われてみると確かに最短時間で逃げられる戦略のように思えます。
でも、それを証明することは可能でしょうか？
ひょっとして、別の戦略をとるともっと短くなったりするのでしょうか？
hiccupさんを含め、この質問をご覧の皆さんのご意見を伺えればと思います。

なお、「数学的裏付けはないけど、
自分はこういった戦略の方がいいような気がする」
といった回答でもかまいません。
また、この質問に対する率直な感想や疑問なども
回答していただいてかまいません。
そういった、直接の答えにはなっていない回答でも、
この問題を解くための思わぬヒントになるかもしれません。

補足

お久しぶりです。
締め切りもしないまま時間が過ぎてしまいました。
（この補足は 07/09/24 AM 1:40 頃に書いています。）
忙しい生活を送りながらも頭の片隅でずっと考え続け、
あと一歩で解けそうだ、と思いながら結局解けず、
こんな状態になってしまいました。申し訳ありません。

でも、今までの皆さんの回答のおかげで、
やっと解き方がわかりました。
（答えも数式で書きかけているのですが、確認に少し時間がかかりそうです。）
それで、以下の通り報告したいと思います。

No.1 の hiccupさんの回答の case 1 の場合に
「完全な曲線と直線」ではなくて、
「曲線を途中で切り上げて適切な向きに直線で向かう」にすれば、
もっと早くなるのではないかと思いつきました。
（以下の論議は、case 2 でも当てはまります。）

そして、最短時間で逃げられる戦略は、
曲線をどこか（最初か途中か最後）で切り上げて
適切な向きに直線で向かう戦略です。

その理由は以下の通りです。
・前半戦略の曲線をいったん離れたら、
　　　原点から (v/V)R 未満の距離であれば、
　　　　　鬼と原点を結ぶ直線上に戻るような戦略は
　　　　　最短時間で逃げられる戦略ではない
　　　　　（はじめから前半戦略の曲線通りにたどった方が早い）
　　　原点から (v/V)R 以上の距離であれば、
　　　　　鬼が最適戦略をとる限り、鬼と原点を結ぶ直線上には戻れない
・鬼が最適戦略をとる限り、
　　前半戦略の曲線をいったん離れたら、
　　鬼と原点を結ぶ直線上には戻れない、または戻るのは最短ではないので、
　　鬼の最適戦略は、一定方向にひたすらＡさんを追いかけることである。
　　したがって、Ａさんが最短時間で逃げられる軌道は直線である

そして、前半戦略の曲線をどこかで切り上げたあと、
どの向きに進むかが問題になりますが、
最短時間で逃げられる戦略は、
前半戦略で進んできた曲線から左にも右にも向きを変えず、
接線方向に進む戦略です。

その理由は以下の通りです。
（鬼は正方向の回転を続けているとします）
・左方向に向きを変えて直線に進めば、
　　その瞬間に鬼は向きを変えて負方向に回ってくることになり、
　　Ａさんにとって不利になる
・右方向に向きを変えて直線に進み、
　　鬼に捕まらずに池の外周にたどりついたとすると、
　　前半戦略の曲線は円形（を途中で打ち切ったもの）であるから、
　　たどりついた点から前半戦略の円に接線を引くことができる。
　　そして、その接線を通るルートの方が早く池の外周にたどりつけるので、
　　右方向に向きを変えて直線に進むのは最短戦略ではない

そこで、前半戦略を t0 で切り上げるものとします。
このとき、Ａさんは中心から r0 = (v/V)R sin(vt0/R) だけ離れています。
そこで、このときの鬼の位置を ( -R , 0) 、
Ａさんの位置を ( r0 , 0 ) とします。
そして、そこからＡさんは、( R cosφ , R sinφ ) を目指して
直線で移動します。
すると、私の計算が正しければ、

R sinφ = tan(Vt0/R) { R cosφ - (v/V)R sin(vt0/R) }
{ R cosφ - (v/V)R sin(vt0/R) }^2 + (R sinφ)^2 = { (v/V)R (π+φ) }^2

の連立方程式により t0 と φ が定まり、最適戦略が得られます。

きちんと確認できたら、また報告します。

回答No.8

hiccup

前回の ANo.10 の montmort さんの方法での解決を確認しました。
差し出がましいようですが少し解説まがいのことをしますと、
>> 簡単のため池を単位円
とは長さのスケールを変えることであり
>> 鬼の角速度を1
とはさらに時間のスケールを変えることですね。
v がそのまま使われているので違和感があって「間違えてるな」と思ってぼんやり読んでました。結局、私の方が間違えていることがわかり、浅はかな自分に恥じ入ります。montmort さんには本当に申し訳なく思います。

さて気を取り直しまして、この問題には私はかき混ぜ役としてかかわりましたが、この問題の解決をみなさんといっしょによろこびたいと思います。

お礼

解決したので、回答を締め切ることにしました。
でも、前質問をご覧になってくださった方にも報告したいので、
下記アドレスにて解決報告を兼ねた質問をしています。
http://okwave.jp/qa3404100.html
こちらの質問にもぜひご参加下さい。
（上記内容はhiccupさんにとっては二重になってしまいますが、
　ご容赦下さい。）

さて、
>> Excelで確認計算をしたのですが、
>> その時に面白い事実を発見しました。
という件ですが、V = 1 , R = 1 として、
v/V をいろいろと変えて、等式を満たすθを求めると、こうなりました。

v/V　　　　　θ

0.218　　1.2772442289
0.22　　　1.1146161307
0.23　　　0.7936595610
0.24　　　0.6196558255
0.25　　　0.4917381047
0.26　　　0.3885821754
0.27　　　0.3013897375
0.28　　　0.2255291035
0.29　　　0.1582095915
0.30　　　0.0975971165
0.31　　　0.0424106933
0.318　　0.0015310912

v/V = 0.318 ≒ 1/π で θ ≒ 0 となるのは予想通りですが、
v/V = 0.218 ≒ 下限 で θ ≒ π/2 ≒ 1.5707963268 とはなっていません。

なぜだろうと思い、v/V を次のようにしてみました。

0.2172336283　1.5693944289
0.217233629　　1.5678925127
0.21723363　　　1.5669810603
0.2172337 　　　1.5577269987
0.217234　　　　1.5481720718
0.21724　　　　　1.5123381167
0.2173　　　　　　1.4425297031
0.218　　　　　　　1.2772442289

ということは、v/V = 0.218 でも切り上げるタイミングと
向かう方向には余裕があるが、下限に近づくにつれて
急激に余裕がなくなる、ということになります。

でも、よくよく考えてみると、前半戦略の最後の部分では
時間の割にはなかなか原点から離れることができませんから、
当然といえば当然かもしれません。

補足

（これは本来はお礼の欄に書くべきかもしれませんが、
　字数制限のために補足に書くことにします。）

回答ありがとうございます。
かき混ぜ役だなんてとんでもないです。
hiccupさんのおかげで問題解決にたどりつくことができましたので、
本当に感謝しています。

さて、montmortさんの二番煎じではありますが、
V と R も使った回答がまとまりましたので、書いておきます。

前半戦略を開始する時点で、Ａさんは当然、原点にいます。
そして、鬼は ( -R , 0 ) にいるものとします。
（今までの皆さんの回答とは違う位置から始まっていますので、ご注意下さい。）

そして、Ａさんが最適戦略をとる場合、
鬼の最適戦略は、一定方向に回転を続ける戦略です。
そこで、鬼は正方向の回転を続けるものとします。

前半戦略では、Ａさんは鬼と同じ直径上にいながら
（つまりＡさんと原点と鬼が一直線上にいる位置を保ちながら）
鬼から遠ざかる方向に逃げます。

このとき、前半戦略を開始して t 秒後には、
鬼は ( -R cos(Vt/R) , -R sin(Vt/R) ) に、
Ａさんは ( (1/2)(v/V)R sin(2Vt/R) , (1/2)(v/V)R { 1 - cos(2Vt/R) } ) に
いることになります。

以下、簡単のため θ = Vt/R とおきます。
そして、t 秒だけ前半戦略をとり、
（この位置を点Ｐとします。）
その後、これまでたどった経路の接線方向に一直線で
池の外周に向かい、達した点をＱとします。
そして、後半戦略でＡさんと鬼はそれぞれどれだけ進むことになるのか、
考えたいと思います。

図を描いてみるとわかりますが、三角形ＯＰＱについて、
ＯＰ = (v/V)R sinθ 、ＯＱ = R 、∠ＯＰＱ = π-θです。
そして、ＰＱ = L 、∠ＰＯＱ = φ とおくと、
∠ＰＱＯ = θ-φ になります。
そこで、正弦定理を適用すると、

R / sin(π-θ) = (v/V)R sinθ / sin(θ-φ) = L / sinφ

となり、左辺と中辺の等式より、

(v/V)(sinθ)^2 = sin(θ-φ)
Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } = θ - φ
φ = θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 }

となります。今度は左辺と右辺の等式を考えると、

L = R sinφ / sinθ
L = R sin{ θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } } / sinθ

となります。

したがって、
　前半戦略でＡさんが進む距離は (v/V)Rθ
後半戦略でＡさんが進む距離は 上記 L
　前半戦略で鬼が進む距離は R(π+θ)
　後半戦略で鬼が進む距離は Rφ（ただし、φは上記）
となり、

Ａさんの進む距離は
　r1 = (v/V)Rθ + R sin{ θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } } / sinθ
鬼の進む距離は
　r2 = R(π + 2θ) - R Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 }
となります。

（下限）＜ v/V ＜ 1/π であれば、
r1/v = r2/V となった瞬間に後半戦略に移ればよいので、

(v/V)Rθ + R sin{ θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } } / sinθ
　= (v/V)R(π + 2θ) - (v/V)R Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 }
(v/V)θ + sin{ θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } } / sinθ
　= (v/V)(π + 2θ) - (v/V)Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 }
sin{ θ - Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 } / sinθ
　= (v/V)(π + θ) - (v/V)Arcsin{ (v/V)(sinθ)^2 }

を満たすθ（ θ = Vt/R ) の時点で後半戦略に移ることになります。
これは、montmortさんの式と基本的には同じものです。

それにしても、この問題でいろいろ勉強になりました。
１つの問題にいろいろな解き方があり、
解き方によって、解きやすさが全く違うことがあるのですね。
自分の考えに凝り固まっていると、
もっと簡単な解き方があるのにわざわざ難しく解いてしまう、
ということになってしまいます。
（私は、数式を使って解くという考えに凝り固まっていました。
　でも皆さんのおかげで、
　後半戦略は直線だけを考えればよいことに気付かされました。）
そして、解き方によって、答えがシンプルに表現できることもあれば、
難しい表現になってしまうこともあります。

さて、上記の回答を確かめるためにExcelで確認計算をしたのですが、
その時に面白い事実を発見しました。
もう一度確認してから、改めて報告します。

回答No.7

hiccup

これは前回 montmort さんが ANo.10 で書かれているものですね。
私には難しすぎて理解するためには十分な時間が必要です。

すでに出ていたのに、ちゃんと読んでいなかったことを反省しています。こめんなさい、montmort さん。

お礼

そうなんです。実は、私が
>> 私は、この問題の解き方を、２日ほど前に思いつきました。
と書いたのもmontmortさんと基本的には同じ解き方だったりします。

でも、montmortさんは、その戦略が最適かどうかという点には
たどりついていません。
そして、hiccupさんが本質問の No.1 で回答してくださったおかげで、
私は No.1 の補足の通り、montmortさんの戦略が最適であることを
確認できたのです。

さらに言えば、Ａさんが最適の戦略をとるなら
鬼が正方向の回転を続けるので、
最適な戦略が曲線＋直線である、
という事実に気づくことができたのは、
前質問の皆さんの回答のおかげです。

そんなわけで、前質問の回答者の皆さんにもお礼をしたいのですが、
たぶん見ておられないでしょうね…
それで、近いうちに、解決報告を兼ねた質問をしたいと思っています。

さて、肝心の答えですが、無事確認計算ができました。
答えをまとめ次第、投稿しようと思います。
それにしても、montmortさんの回答を解読するのは
確かに努力がいりますね。
できるだけわかりやすい形で書きたいと思います。

補足

（補足というよりは、回答してくださった皆さんへの報告です。）

解決したので、回答を締め切ることにしました。
でも、前質問をご覧になってくださった方にも報告したいので、
下記アドレスにて解決報告を兼ねた質問をしています。
http://okwave.jp/qa3404100.html
こちらの質問にもぜひご参加下さい。

回答No.6

hiccup

> kts2371148 さんの方法が本命ですね。
> 場合分けせずに美しい形で決着するなんて、
> すごいものが隠れていたものです。

最善の脱出経路の基本形が円周の一部とその接線でできているという意味です。
こんな形が隠れていたのには驚きました。点が線につながったときにはゾクゾクしましたよ。
こちらも計算してみますね。投稿するかどうかはわかりませんが。

回答No.5

hiccup

おお、その通りです。
あれだけ相対図と絶対図に気をつけていたはずなのに罠にはまっていました。
先の　f(φ) = (v/V)R(π+φ) - R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　において、R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 } が補正されていない上に、考えているφの範囲も狭すぎました。
反省しきりです。

kts2371148 さんの方法が本命ですね。場合分けせずに美しい形で決着するなんて、すごいものが隠れていたものです。

学ぶことが多くあった問題でした。（←投げてる人）結局、質問者である kts2371148 さんが解決したりして？

回答No.4

hiccup

case 1：（下限）< v/V < 1/(1+π)　の v に対して、P( vR/V , 0 ) とします。
Q( Rcosφ, Rsinφ ) とおきます。鬼が ( -R, 0 ) から正の回転で Q まで行くのに R(π+φ)/V の時間がかかります。
この間に A さんが移動する距離は (v/V)R(π+φ) です。これと PQ を比べます。
Q から (v/V)R(π+φ) だけ離れた x 軸上の点をとり、それが OP 間にあれば、中心を出発した A さんは P に到着する前に Q を目指せばよいことになります。しかし、これは無理のようです。

PQ = R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　なので
f(φ) = (v/V)R(π+φ) - R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }
とすると
f'(φ) = (v/V)R[ 1 - sinφ/√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }]　です。
PQ と x 軸のなす角を ψ とすれば
f'(φ) = (v/V)R( 1 - sinψ )　なので f(φ) は単調増加です。

f(0) = (v/V)Rπ - R( 1 - v/V ) < 0
ψ= 0 のときは接線方向で、このときは逃げ切ることができたので f(ψ=0のときのφ) > 0
よって (v/V)R(π+φ) = R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　となるφがありますが、これは case 1 で提示した P を通過してぴったり捕まるφです。つまり、この経路の途中で直線で逃げて時間を短縮できないということです。

もうこれ以上のものを見つけられないので、すっかり忘れていました。今日思い出しました。
case 2 は途中から x 軸上を逃げます。
私の暗号みたいな文章を読み解いてもらってなんだか申し訳なく思います。

お礼

回答ありがとうございます。
私も苦戦していますが、
hiccupさんも一緒に立ち向かってくださり、感謝しています。

私は、この問題の解き方を、２日ほど前に思いつきました。
今、確認計算をするための時間がなかなかとれずにいるところです。
確認計算ができたらまた報告します。

さて、hiccupさんの回答を読ませて頂いたのですが、

>> Q から (v/V)R(π+φ) だけ離れた x 軸上の点をとり、
>> それが OP 間にあれば、

の部分が怪しいような気がします。

まず、前半戦略を開始する時点から考えたいと思います。
前半戦略を開始する時点で、Ａさんは当然、原点にいます。
鬼は、( 0 , R ) にいるものとします。

もし鬼が正方向の回転を続けるものとし、
Ａさんが鬼と同じ直径上にいながら鬼から遠ざかる戦略をとるとき、

t 秒後には、
鬼は ( -R sin(Vt/R) , R cos(Vt/R) ) に、
Ａさんは ( (1/2)(v/V)R { 1 - cos(2Vt/R) } , -(1/2)(v/V)R sin(2Vt/R) ) に
いるはずです。

そして、(R/V)(π/4) 秒後には、
鬼は ( -R/√2 , R/√2 ) に、
Ａさんは ( (1/2)(v/V)R , -(1/2)(v/V)R ) にいることになり、

(R/V)(π/2) 秒後には、
鬼は ( -R , 0 ) に、
Ａさんは ( (v/V)R , 0 ) にいることになります。

つまり、ＡさんはＯＰ間を直線で進むのではなく、
半径が (1/2)(v/V)R で ( (1/2)(v/V)R , 0 ) を中心とする円
（言い換えれば、ＯＰを直径とする円）の
下半分を進むことになります。
ということは、

>> Q から (v/V)R(π+φ) だけ離れた x 軸上の点をとり、
>> それが OP 間にある

ことがないのは確かだと思いますが、
ＱからＡさんの軌道の半円に向けて接線を引くと、
時間を短縮できると思うのです。

ということは…　と考えた結果得られた結論が、No.1 の回答の補足です。
そして、そこで書いた内容が、
別の方法を使えば幾分簡単な式になる、ということを
２日ほど前に思いついたところです。

私は OKWave を使うたびに思うのですが、
図が描いてアップロードできればかなりわかりやすくなるのに…
でも実際にそうすると規約違反になってしまい、回答が削除されます。
式のみで書かなければならないのは、かなりの制約だと思います。
その制約のためにhiccupさんにも不便をおかけして、申し訳なく思います。

回答No.3

Knotopolog

＃２の Knotopolog です．その通りです．

>> 常に「脱出点」で待機していれば，
>> Ａに逃げられる心配はありません．
>>ということにはならないはずです。
>>Knotopologさんがご指摘の方法で鬼が待ち構えられるのは、
>>v と比較して V が超高速の場合、
>>つまり v << V の場合だけです。

v が一定というのを固定の意味に勘違いしていました．又，考えてみます．

回答No.2

Knotopolog

今，初めて質問をみました．前質問への回答にも目を通しました．完全解決につながる回答ではないかも知れませんが，感じたことを書き連ねます．本質問に対して，
(i)：Ａは池の水面のみを平面的に移動するものとする．潜ったり，空中に浮いたり出来ない．と考えます．
(ii)：鬼がＡを認識できる時間の設定がありませんので，今までの議論には，鬼がＡの居場所を瞬時に確認できるものとの「暗黙の仮定」があります．もし，鬼がＡを認識するのに時間（仮に「認識時間」と呼びＴ秒とする）がかかると仮定するのであれば，「認識時間」の値によっては，「v/V > 1/π」のときでもＡは池の外へ逃げ切ることが出来る場合があります．「認識時間」を大きくとれば良いのですから．({R/v}＜Ｔ)．{R/v}＜Ｔの場合は，Ａが池の外へ出たあとで，鬼がＡを認識する，という意味の認識時間Ｔをとることも出来るわけです．（例えば，コウモリが音波で虫を捉える場合などの認識時間は音速から計算できる）．いままでの議論では，この「認識時間」が無限大（瞬時に認識）である．とでも言えましょうか．（数学的な設問ですから，これでもいっこうに差し支えはありませんが，一応，どういう考えなのかな？という疑問が発生します）．ANo.1 回答者：b4330 さんの「川を潜る」発想も質問の不備，不完全さを突いたもので「冗談，冷やかし，おふざけ」ではないのだと，解釈しています．（もう済んだことを，くどく，むしかえしてすいません）．
(iii)：本質問（設問(2)）では，鬼の速度 V が任意であると解釈できます． v/V ≦ 1/π を満たせば，速度 V は如何なる値でもよいことになります．そう解釈しています．と言うことは，如何なる超高速でも可能ということになります．すなわち，鬼の速度 V は，任意の有限な値で，加速，減速が自由に出来るとする．と言う仮定のもとに議論を進めることになります．（v/V ≦ 1/π 以外に速度の条件は何もない）．
仮定(iii)で議論を進めてみましょう．
半径 R の円（池の円周）の中心点とＡを結ぶ直線をＬとします．直線Ｌが半径 R の円の円周と交わる点を「脱出点」と呼ぶことにします．したがって，直線Ｌと「脱出点」はＡが鬼から逃げ回ると同時に移動します．しかし，Ａは常に直線Ｌ上に存在することになります．Ａが直線Ｌから外れることはありません．鬼は，Ａを瞬時に認識し，池の円周上を超高速で移動し，常に「脱出点」で待機していれば，Ａに逃げられる心配はありません．鬼の速度制限は，v/V ≦ 1/π 以外には無いのですから，上記が可能です．Ａがどのようなコースを取ろうとも，「脱出点」以外から池の外に出ることは出来ませんから鬼をかわすことが出来ません．したがって，Ａは鬼に捕まらず池の外に出ることは永久に出来ません．鬼の速度 V に上限がなければ，上記が成り立ちます．数式を用いる必要はありません．何か，勘違いしているでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
全く新しい観点からの回答ですね。

>> 今までの議論には，
>> 鬼がＡの居場所を瞬時に確認できるものとの
>> 「暗黙の仮定」があります．
確かにそうですね。
実は、私もそのことに疑問を感じていました。
認識に幾らかの時間が必要であれば、
かなり違った答えになりそうです。
でも、私はこの点について
これ以上突っ込むことはしないことにします。
すでにここまででも私の頭の中は
かなりややこしくなっていますので…

後半についてですが、
>> 鬼の速度 V が任意であると解釈できます．
>> v/V ≦ 1/π を満たせば，
>> 速度 V は如何なる値でもよいことになります．
>> そう解釈しています．
>> と言うことは，如何なる超高速でも可能ということになります．
これは正しいと思います。
しかし、v/V = 0.2172336283 のとき、
つまり理論上の逃げ切れる速度の下限にかなり近いとき、
V は超高速ですが、v も超高速です。
したがって、
>> 鬼は，Ａを瞬時に認識し，池の円周上を超高速で移動し，
>> 常に「脱出点」で待機していれば，
>> Ａに逃げられる心配はありません．
ということにはならないはずです。
Knotopologさんがご指摘の方法で鬼が待ち構えられるのは、
v と比較して V が超高速の場合、
つまり v << V の場合だけです。