分数の計算の仕方（速さの問題）

質問

ＧＷなので、たまっていた質問がたくさんあります。
今晩も宜しくお願いします。

速さの問題なのですが、質問は分数の計算の仕方です…。

問
ある警察官は、交番を出発して、交番から４．８ｋｍ離れた警察署に向かった。最初は一定速度で向かっていたが、出発して１．５ｋｍの地点で指令を受け、１時間あたりに進む速度を毎時１．５ｋｍあげた。その結果、当初の予定よりも１１分早く到着した。このとき、当初の速度は毎分何メートルか。（正解：毎分７５ｍ）

テキストの解説　当初の速度をＶ（ｍ／分）とする。

（４８００／Ｖ）－｛（１５００／Ｖ）＋（３３００／Ｖ＋２５）｝＝１１　→　（３３００／Ｖ）－（３３００／Ｖ＋２５）＝１１　

両辺にＶ（Ｖ＋２５）をかけ（△）、両辺を１１で割る。　

という風に解説されていました。式の組み立て方自体はわかります。
これを解く時、僕は２つのパターンを思いつきました。

一つ目は、（３３００／Ｖ＋２５）を簡単にすればいいと思い、
１３２／Ｖという風にしました。でも、これだと正解にたどり着けないんです。

そこで二つ目です。（Ｖ＋２５）をかけて計算したところ、やっぱり正解にたどり着けませんでした。

そう、△の部分で引っかかっているのです。僕のやり方は何が間違っているのですか。なぜ△のようにＶ（Ｖ＋２５）としなければならないのですか。また、どうしてＶ（Ｖ＋２５）でなければダメだと判断できるのですか。

とても困っています。宜しくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

一番基本的なことを確認しましょう、
等式を変形するとき許されるのは

(1)等式の両辺に同じ数を足す、引く、掛ける、割る
(2)分数の分子と分母に同じ数を掛ける、割る

ですね。
これを無視した変形をすると間違えることになります。

まず、
＞（３３００／Ｖ＋２５）を簡単にすればいいと思い、１３２／Ｖという風にしました。
ですが
　　3300/(V+25)
の分子と分母を25で割ると
　　3300/(V+25) = 132/((V/25)+1)
であって
　　3300/(V+25) = 132/V
ではないですよね。
質問者様の方法では分子を25で割り、分母から25を引くという操作をしているので間違えるのです。

次に、
＞（Ｖ＋２５）をかけて計算したところ、やっぱり正解にたどり着けませんでした。
ですが、
この方法なら正解にたどり着けるはずですよ。

　　(3300/V) - (3300/(V+25)) = 11
両辺に(V+25)を掛けて
　　(3300*(V+25)/V) - 3300 = 11*(V+25)
両辺にVを掛けて
　　3300*(V+25) - 3300*V = 11*(V+25)*V
両辺を11で割って
　　300*(V+25) - 300*V = (V+25)*V
となるはずです。
(V+25)掛けるだけで終わってしまっていては左辺の第1項に分母が残ってしまいます。
そこであきらめずに更に両辺にVを掛けることが必要です。

お礼

ありがとうございます。

「3300/(V+25)の分子と分母を25で割ると
3300/(V+25) = 132/((V/25)+1)」

Ｖ＋２５　の２５は独立しているのではなく、あくまでＶとセットだから…ということでいいのでしょうか。この理解であっているなら、わかりました。

回答No.3

Quattro99

> 一つ目は、（３３００／Ｖ＋２５）を簡単にすればいいと思い、
> １３２／Ｖという風にしました。でも、これだと正解にたどり着けないんです。
これについては、すでに回答されているように計算を間違えています。分母は(V+25)ですから、約分するときはこれ全体を割らねばなりません（この場合、約分できません）。

> なぜ△のようにＶ（Ｖ＋２５）としなければならないのですか。
> また、どうしてＶ（Ｖ＋２５）でなければダメだと判断できるのですか。

例えば、(a/3)+(b/2)=1というような式があったとして、この式から分数をなくすことを考えてみます。a/3を分数でなくすには両辺に3をかければよいことはすぐにわかると思いますが、3でなくても3の倍数ならよいのです。同様にb/2を分数でなくすには両辺に2の倍数をかければよいわけです。ですから、両方とも分数でなくすためには3と2の公倍数をかければよいことになります（公倍数は無限にありますが最小公倍数で十分です）。
ご質問の問題に出てくる分数の分母の公倍数はV(V+25)です。ですから、これをかけるのです。V(V+25)でなければダメというわけではなく、2V(V+25)などでもかまいません（無意味ですけど）が公倍数でなければダメということです（公倍数でなければ少なくともどちらか片方は分数のままになってしまうから）。

11で割るのは、たまたま両辺とも11で割り切れるからに過ぎません。

なお、（３３００／Ｖ＋２５）だと(3300/V)+25と区別がつきません。3300/(V+25)と書くようにしてください。

お礼

＞分母は(V+25)ですから、約分するときはこれ全体を
＞区別がつきません。

おぉ、そうでした。「全体を」…ですね。ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

> 一つ目は、（３３００／Ｖ＋２５）を簡単にすればいいと思い、
１３２／Ｖという風にしました。でも、これだと正解にたどり着けないんです。

> そう、△の部分で引っかかっているのです。僕のやり方は何が間違っているのですか。

25で約分をしたのでしょうか？だとしたら、約分のやり方が間違っています。
約分は割り算です。
分子の約分はちゃんとできていますが、分母が違います。
分母を25で約分するということは、(V + 25)全体を25で割るということです。
実際に計算すると

(V + 25) ÷ 25
= V ÷ 25 + 25 ÷ 25　（分配法則）
= (V / 25) + 1

となります。つまり分母は{ (V / 25) + 1 }で、分子は132です。
このままだと、あまりきれいな式ではないので先に進めません。

> なぜ△のようにＶ（Ｖ＋２５）としなければならないのですか。また、どうしてＶ（Ｖ＋２５）でなければダメだと判断できるのですか。

分数の分母と同じ数をかけると、分母が約分されて1になる（つまり分母が消える）からです。
つまり、分数が無くなって解きやすい式になります。

(3300 / V) - { 3300 / (V + 25) } = 11

には分母Vと分母(V + 25)があります。
なので、両辺にVをかければ(3300 / V)の分母が消え、
両辺に(V + 25)をかければ{ 3300 / (V + 25) }の分母が消えます。
ちなみに、テキストの解説では「V(V + 25)をかける」となっていますが、
これは「Vをかけたあとに(V + 25)をかける」と同じ意味です。

はじめにVを両辺にかけると

3300 - { 3300V / (V + 25)} = 11V

となります。
次に(V + 25)を両辺にかけると

3300(V + 25) - 3300V = 11V(V + 25)

となり、分数が消えます。
これならVの二次方程式なので解くことができます。

お礼

ありがとうございます。

これも、Ｖは独立しているのではなく、Ｖ＋２５でセットということですね。たぶん大丈夫っぽいです。