センター物理 振動 再

質問

振動数fの音源を装着したボールを2個用意する、どちらもスイッチを入れて音が鳴っている状態で一つのボールは手元に置いておき、他の一つを鉛直上向きに投げ上げ、ボールを投げ上げた位置でうなりを観測した。

このとき観測されるうなりの単位時間当たりの回数nの時間変化を表すグラフの概形はどうなるか、最も適当なものを次の(1)～(4)のうちから一つ選べ。

ただし、ボールを投げた瞬間の時刻をt=0,投げ挙げたい地にボールが落下してきた時刻をt=Tとし、ボールの初速度の大きさは音速よりも十分に小さく、空気抵抗は無視できるものとする

解説 ボールの初速度の大きさをv[0],音速をVとする、ボールを投げ上げた直後は手元のボールからの振動数fの音と、投げ上げたボールからの振動数Vf/(V+v[0])の音の2つの音が重なり合う

このときに、観測される単位時間当たりのうなりの回数n[1]は
n[1]=f-Vf/(V+v[0])

=v[0]f/(V+v[0]) ボールが最高点に達するまで、ボールの速さは小さくなっていき、最高

点で一瞬静止する、ボールが最高点に達したときに発せられた音と手元のボールから発せられた音の振動数はどちらもfなので、うなりは観測されない。

ボールが投げ上げた位置に落ちてくる直前にはボールの速さは初速度の大きさv[0]と等しいので、手元のボールからの振動数fの音と落下してきたボールからの振動数Vf/(V-v[0])の音が重なり合う。

このときに、観測される単位時間当たりの
うなりの回数n[2]はn[2]=Vf/(V-v[0])-f=v[0]f/(V-v[0])
よってn[2]-n[1]=v[0]f/(V-v[0])-v[0]f/(V+v[0])=(2v[0]^2)f/(V^2-v[0]^2)>0
となりn[2]>n[1]となるので(2)が正解となる。

解説の投げ上げたボールからの振動数Vf/(V+v[0])とあるのですが、Vf/(V+v[0])となる理由は投げ上げたボールが最高点に達するまでの速度をv[0]とした時、観測者から離れて行くようにv[0]で離れて行くので、ボールから観測者に向かって行く1秒間の音波の波の長さがV+v[0]に伸びて、波長が(V+v[0])/fになるので、観測者から見ると音波の速度はVで変わらないけど、波長が伸びたので、1秒間に振動する回数が減ってV=f'(V+v[0])/fからf'=Vf/(V+v[0])になったということですよね？

ボールが最高点に達したときにうなりが観測されない理由は最高点ではボールの速度が0になるのでボールから観測者に向かって行く音波の1秒間辺りの波の長さはVのままで1秒間に出る波の個数はfで1秒間に1回振動する時の波の長さ、つまり波長がV/fで音速は観測者から見てVなので波長も速度も変わっていないので、振動数も変わっていないからということですよね？

ボールが投げ上げた位置に落ちてくる直前にボールの速さが初速度v[0]になるのは力学的エネルギー保存則から位置エネルギーが投げ上げ位置と同じだから速度も同じになるということですよね？

落下してきたボールからの振動数がVf/(V-v[0])になるのは落下してくる時、ボールは観測者に向かってv[0]で向かってくるので、音波が1秒間に進む波の長さがV-v[0]になってその1秒間の波の長さの中にf個の波があるので1個辺りの波の長さ、つまり波長が(V-v[0])/fになるということですよね、そして音速はVなのでV=f''(V-v[0])/fからf''=Vf/(V-v[0])となるということですよね？

以上の確認の方をお願いします、間違った考え等がありましたら教えてください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>> 唸りが観測されるとは具体的にどういうことなのか、知っておいたほうがよいでしょう。
>上にも書きましたが、振動数が変わらないからうなりは観測されないという事では駄目なのですか？
>うなりというのは観測する2つの振動数に差があるから生じるんですよね？

うなりは差の周波数になると覚えていてもよいのですが、意外と複雑な現象なんで
知っておいたほうがよいです。ただ位相に関する現在の理解だと難しいでしょう。

>v[0]が最高点に達するまでの速度なんて書いてますか？初めの位置と落ちてくる位置が同じだから初めの速度>v[0]と同じですよね？って事を書いたと思うのですが

これはご自分の文章を読み直してください。

>ボールから観測者に向かって行く1秒間の音波の波の長さがV+v[0]に伸びて、
>波長が(V+v[0])/fになるので、観測者から見ると音波の速度はVで変わらないけど、
>波長が伸びたので では駄目なんですか？どういう風に書けばいいのでしょうか、是非教えてください

波長に関しては見方によって変わったりはしないのですが、音源が動いてないときに
比べて波長が変わります。この２つを区別して書くようにするべきです。

>> いつの話なのか記述がない。これはボールが手元に戻ってきた瞬間の話。
>ではどういう風に書いていけばいいでしょうか？

もちろん時刻か位置を明瞭に指定するだけです。

お礼

御返答有難うございます

補足

波長が変わるのは波の長さが変わるからですよね？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

4択を選ぶくらいだったらこれでまあよいですが、解説としては、あるいは文章での回答としては
いろいろたりないです。

1) 回答に書く必要はありませんが、うなりというのは干渉現象の一種です。
　 唸りが観測されるとは具体的にどういうことなのか、知っておいたほうがよいでしょう。

2) 「投げ上げたボールが最高点に達するまでの速度をv[0]とした時」は誤り。
v[0][は t=0 での速度。つまり初速度。

3) 「波長が伸びたので、1秒間に振動する回数が減って」
何にたいして、どうなったかという記述がなく、雰囲気だけを書いている。
これまでの議論を読んだ人でないと何のことかわからない。

4) 「ボールからの振動数がVf/(V-v[0])になるのは落下してくる時、ボールは観測者に向かってv[0]で
向かってくるので」

　 いつの話なのか記述がない。これはボールが手元に戻ってきた瞬間の話。

お礼

御返答有難うございます

補足

> 唸りが観測されるとは具体的にどういうことなのか、知っておいたほうがよいでしょう。
上にも書きましたが、振動数が変わらないからうなりは観測されないという事では駄目なのですか？うなりというのは観測する2つの振動数に差があるから生じるんですよね？

>v[0][は t=0 での速度。つまり初速度。
v[0]が最高点に達するまでの速度なんて書いてますか？初めの位置と落ちてくる位置が同じだから初めの速度v[0]と同じですよね？って事を書いたと思うのですが

>これまでの議論を読んだ人でないと何のことかわからない。
ボールから観測者に向かって行く1秒間の音波の波の長さがV+v[0]に伸びて、波長が(V+v[0])/fになるので、観測者から見ると音波の速度はVで変わらないけど、波長が伸びたので では駄目なんですか？どういう風に書けばいいのでしょうか、是非教えてください

> いつの話なのか記述がない。これはボールが手元に戻ってきた瞬間の話。
ではどういう風に書いていけばいいでしょうか？