円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にＡさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには？

質問

半径 R の円形の池があり、中心にＡさんがいます。
Ａさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りＡさんを捕まえようと最善の方法で走ります。
Ａさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
（鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。）

このとき、
　(1) Ａさんの泳ぐ速度が鬼の何倍以上なら
　　　　Ａさんは鬼に捕まらずに池の外に出ることができるでしょうか？
　　　　その場合の戦略はどのようなものでしょうか？
　(2) Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
　　　　どのような戦略をとれば、最短時間で逃げられるでしょうか？
　(3) Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
　　　　どのような戦略をとれば、
　　　　鬼より最も離れたところで陸に上がることができるでしょうか？

実は、この質問はあるサイトの質問を少し変えたものです。
そのサイトでは、回答期限が１週間以内であるという重大な欠点があり、
だれも満足のいく回答を示すことはできませんでした。
そこで、回答の時間制限がなく、かつ閲覧者も多く、
優秀な回答者も多そうなこのサイトに投稿することにしました。

私も解いてみたのですが、計算・実験等してみたところ、
(1) については、おそらくＡさんが逃げ切れる速度の上限は v/V = 0.218 程度だと思います。
(3) は、もう少しで解けそうな気もします。
(2) は、解ける見通しが立っていません。

また、上記の質問は、ビルゲイツの面接試験問題
http://pitecan.com/Mixi/diary/2319810.html
http://pitecan.com/Puzzle/devil/
の条件を少し変えたものでもあるようです。
（これが元ネタかもしれません）

難問かもしれませんが、回答、もしくはヒント等頂ければ助かります。
解くには時間がかかるかもしれませんので、
その場合は「考え中です」とでも回答して頂ければよいと思います。

なお、他のＱ＆Ａサイトへリンクを貼る等、
「他のサイトへの誘導およびやりとりを促し当サイトへの営業妨害に繋がる恐れのある記述」
をすることはご遠慮下さい。回答を削除されてしまいます。
また、画像をどこかにアップロードしてリンクを貼るのも禁止事項のようです。
http://service.okwave.jp/cs/prohibition/
http://okwave.jp/qa3162570.html
http://okwave.jp/qa3289973.html
をご覧下さい。

回答No.6

age_momo · ベストアンサー

少し考えてみました。それぞれの速度を1、θとしても円の半径をRとして
ある限り一般性を失わないのでこれで書いてみます。

まず、円の中心から鬼と反対側に泳ぎだします。それに対して鬼はどちらでも
同じなので反時計回りに回り始めるとします。Aさんはこの動きに対して絶えず
円の中心が間に来るように方向を変えながら泳ぎます。螺旋に似た動きに
なります。理論的には無限大の時間が必要になりますが、いずれAさんは
反時計回りに半径θRの円を描いて泳ぐことになります。この泳ぎをしている
間は鬼に対して円の中心を挟んで反対側で最も遠いところにいますので
ポジションとしては最適なのは間違いないと思います。よって、時間のfactorが
ない(1),(3)に関してはここから考えることになると思います。

原点を中心とする半径Rの円を考えてある時間にAさんが(θR,0)鬼が(-R,0)に
いてこの時にAさんが行動を開始したとします。
行動の仕方は(R,0)から(θR,R√(1-θ^2))のどこかに直線的に逃げることになります。
今、(R,0)に向けて真っ直ぐに逃げると#4さんの回答になると思いますが、
最適かどうかを考えるために(Rcosω,Rsinω)に向けて逃げ出したと考えると
その点にAさんが到着する時間と鬼が到達する時間の差の関数
f(ω)=1/θ*√{(Rcosω-θR)^2+(Rsinω)^2}-R(π+ω)
=R/θ*√(1+θ^2-2θcosω)-R(π+ω)

ωで微分して増減を調べれば分かりますが、
0≦ω≦arccosθ
の範囲内で単純減少であり、ω=arccosθつまり、(θR,0)から真上に
逃げることが最も良いことになります。

これ以上の左は考えません。理由は二つあります。
・半径θRの円の内部を通ることになり、無駄が出る。
・内部に向かう⇔鬼の進行方向から反対側に出ることになるので
鬼が反転して回って来る。

なお、(θR,0)から真上に逃げた場合、鬼は反転しません。
なぜならばAさんが鬼と中心を結んだ線上にいるためには
θRの円を描いて泳ぐ必要がありますが、これから離れた瞬間から
絶えずAさんは鬼の進行方向に近いところにいます。
仮に鬼が反転すればそれにあわせてAさんも向きを変えれば
より有利になりますから題意から鬼が反転することはありません。
(θRの円から出た瞬間からAさんが鬼の進行方向の反対側に行くことは
できません)

Aさんの脱出をθRの円の接線方向と決定するとそれぞれの時間の差の
関数は

g(θ)=R/θ*√(1-θ^2)-R(π+ω)

となり、これが0になるθをnewton法で数値的に求めると

θ≒0.2172336282112216574082793

となりました。

お礼

回答ありがとうございます。
おそらく、本格的な回答としては初めてではないかと思います。
感謝します。

前半の戦略についてですが、
>> 理論的には無限大の時間が必要になります
といったん私も思ったのですが、計算してみるとそうではないようです。

計算の途中経過は書きませんが、
（もし途中経過もお知りになりたい場合、
　その旨投稿して頂ければ途中経過も書きます。）
鬼が左回り（正方向の回転）をし続けたときでも、
Ａさんは (π/2)(R/V) の時間（有限の時間）で、
鬼と原点とＡさんが一直線上にあり、
原点を挟んで鬼の反対側にＡさんがいて、
原点から r = (v/V)R の位置にいることが可能になるようです。

なお、上記の場合の軌道は以下のようになります。
（ここでは、原則として極座標を用いることにします。
　点 ( r , θ ) と書いてあった場合、
　それは x-y 座標系では ( r cosθ , r sinθ ) のことです。）
鬼が ( R , π ) 、Ａさんが原点にいるときを t = 0 とすると、
時刻 t における鬼の位置は ( R , π + Vt/R ) で、
Ａさんの位置は ( (v/V)R sin{ (V/R)t } , Vt/R ) となり、
時刻 t = (π/2)(R/V) において、Ａさんは原点を挟んで鬼と反対の位置で、
原点から r = (v/V)R の位置にいることが可能になります。

上記の事柄は、Excel で確認したので、間違いないはずです。

後半の戦略についてですが、
>> (θR,0)から真上に逃げた場合、鬼は反転しません。
というのは、(θR,0)から真上に逃げた場合でも、
鬼は左回り（正方向の回転）をし続ける、と解釈してよろしいのでしょうか？
右回りの方が、どう考えても捕まえやすいような気がするのですが。
もしよければ、納得できるように説明して頂ければ助かります。

でも、私は別の方法で (1) をたぶん解くことができたと思うのですが、
私の計算では、v/V ≒ 0.2172336282 となりました。
それは一致しているようです。

回答No.10

montmort

No.8,9です．
＞実は今、鬼が最適でない戦略をとったときに、
＞その隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離すためには
＞どうしたらよいかを考え中です。
そうですよね．とりあえずそのまま進むっていうのは数学的にルーズですから，最適解を出すのは自然ですね．

＞ただ、ここまでが長くなりましたので、
＞いったん締め切って新しく質問した方がよいとお考えの方は、
＞その旨お伝えください。
確かに長くなりましたね．新しく質問しなおしたほうがいいかもしれませんが，ちょうど(2)が解けたので書いてもいいですか？

簡単のため池を単位円,鬼の角速度を1としてあります．
前半を，やはり中心が(v/2,π/2)で半径v/２の円に沿って逃げ，後半をこの円の接線上を逃げ，ちょうど鬼に捕まる条件を求める．前半から後半に移る時点のAさんの位置をP(r,θ)とする．その位置は，P(v*sinθ，θ）と表わせる．またAさんが最終的に池のたどり着く地点をQ(1,θ+φ) とする．△OPQにおいて∠QOP=φ,∠OPQ=π-θである．よって，
∠PQO=θ-φ
である．また，OP=vsinθ,OQ=1である．PQ=kとすると，△OPQにおいて正弦定理を適用し，
1/sin(π-θ）=visnθ/sin(θ-φ）=ｋ/sinφ…(2)
また，求める条件は，
π+φ=k/ｖ …(3)
であるから，これらからφ，kを消去する．
(2)より，
sin(θ-φ）=vsin^2（θ）
よって，
φ=θ-arcsin（visn~2（θ））
また，k=sinφ/sinθ=sin（θ-arcsin（vsin^2(θ)）/sinθ であるから，(3)は，
π＋θ-arcsin（vsin^2(θ)）＝sin（θ-arcsin（vsin^2（θ））/（vsinθ）
これを満たすθだけ前半小円上を動き，その後その円の接線上を行けばちょうど鬼にぶつかりますから，ちょっとθをふやせば鬼から逃げれます．
ただし，この方程式の解が意味をもつのは
0.21723362821122165＜v＜1/π
です．
それより小さいと，鬼につかまります．
大きいと，最初から直線で逃げます．

この戦略が最適という自信はありません．検討をお願いします．

お礼

回答ありがとうございます。
いよいよ (2) ですね。

私は、おそらく最後は直線で、
しかもその直線の向きはまっすぐ外周に向かう方向なのではないかと
考えています。
そうすると、montmortさんの予想と違いますね。

他の皆さんの回答を待ちたいと思います。

補足

(3) が解決しましたので、いったんここで締め切って
新しく質問したいと思います。
新しい質問のアドレスは、
http://okwave.jp/qa3331684.html
です。

お礼欄をほとんど使い切ってしまいましたので、
ここで改めてお礼したいと思います。

b4330さんへ：
なかなか楽しい回答でした。ありがとうございます。

BONUSUさんへ：
質問の不備をご指摘頂き、ありがとうございます。

syouji_08さんへ：
ビルゲイツの面接試験問題を解けた人としては最初でしたね。
ありがとうございます。

SortaNerdさんへ：
>> r圏内に入らず、鬼が前方に来ない限り鬼は一方向に進むので、
>> その間に最も長い距離を進めるコースは直線。
など、考え方の点でとても参考になりました。
ありがとうございます。

age_momoさんへ：
ずばりの回答ですね。ありがとうございます。

montmortさんへ：
最後まで一緒に考えていただき、ありがとうございます。
なお、「曲線の可能性も想定して解いている」と書いていましたが、
やっと解けました。（もちろん、やっぱり直線でした。）
>> その隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離すためには
>> どうしたらよいかを考え中です。
ということについては、
>> 鬼がπだけ離れるまでそのまま進めばいいです．
というのが、手っ取り早いだけでなく最適な戦略
（つまり隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離す戦略）
であることがわかりました。
途中式については、相当長くなってしまいますので、
ここには書かないことにします。ご容赦下さい。

本当はすべての人にポイントを発行したいのですが、
（SortaNerdさん・age_momoさん・montmortさんに 20pt
　syouji_08さんに 10pt
　b4330さん・BONUSUさんに 5pt ぐらいが適切でしょうか）
２人の人にしかポイントを発行できませんので、
私の独断と偏見で決めさせて頂きます。ご容赦下さい。

回答No.9

montmort

No.8です．まだこのサイトの使い方がわかっていません．
＞結果として直線の戦略が最適だった、
＞という方法のほうがいいと思います。
はい，結果的にkts2371148さんの戦略が正しかったといえると思います．
きちっと検算をしていませんが，直線の方程式が，変分法のオイラーの方程式も満たすようです．
そもそも直線で行けるところをわざわざ曲線にこだわった私が愚かでした．

●前半の軌道について．
簡単のため，池の半径は１，鬼の速度は１，Aさんは速度ｖで泳ぐとします．
鬼は極座標（１,-π）にいて左周りに追いかけます．
Aさんは最初（0，0）に位置し，常に鬼から反対側つまりπだけ離れるようにつとめ，なおかつ外に向かって泳ぎます．
Aさんの位置を極座標（r,θ）とすると，
ｄθ/dt＝１，√（ｒ^２＋（dr/dt）^２)=v
という微分方程式が成り立ち，これを解くと，
v*sin(θ）＝r
となりこれは円をあらわします．（中心，(v/2,π/２），半径ｖ/２）
鬼はπ/2秒後に（１,-π/２），Aさんは（ｖ，π/２）（全て極座標）にいます．

●　鬼が途中で反対方向に走ったとき．
まず，前半が終わった時点，つまり，後半の始まりの時点で鬼が反転した場合は，Aさんは反対向きに同じ戦略をとればいいです．

後半の途中で鬼が反転した場合はAさんにとってはラッキーです．その時点でAさんは選択の幅が増えます．ぎりぎりの状況らら逃れられるからです．手っ取り早い方法は鬼がπだけ離れるまでそのまま進めばいいです．πだけ離れたときに次の戦略を考えればいいわけです．その際も選択の幅は広いです．楽に鬼から逃げれます．

これから(2)について考えようと思います．やはり円弧の一部+直線が自然でしょうね．

お礼

回答ありがとうございます。
おかげ様で、かなり理解できました。

>> そもそも直線で行けるところをわざわざ曲線にこだわった私が愚かでした．

私が書いたのは、決してそのような意味ではなかったのですが…
私が思ったのは、最適なルートが曲線ではなく直線であることを
何らかの仕方で証明する必要があるはずだ、
そのためには、
　曲線では最適にならないことを証明する
　montmortさんのように、あらゆる状況を想定して計算してみる
のどちらかが必要だと思うのです。
No.1～7の皆さんはそのどちらもされていないようなので、
montmortさんのようなアプローチも必要ではないか、と思ったのです。

と、ここまで書いたところで、No.5さんの回答に
>> r圏内に入らず、鬼が前方に来ない限り鬼は一方向に進むので、
>> その間に最も長い距離を進めるコースは直線。
と書いてあることに気づきました…
でも、montmortさんのようなアプローチも決して愚かではないと思います。

後半の戦略についてですが、鬼が途中で反対方向に走ったとき、
>> 手っ取り早い方法は鬼がπだけ離れるまでそのまま進めばいいです．
これでやっと納得できました。
ありがとうございます。

実は今、鬼が最適でない戦略をとったときに、
その隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離すためには
どうしたらよいかを考え中です。
皆さんの答えを少しいじるだけでできそうな気もしますが、
実は、曲線の可能性も想定して解いている途中です。
やっぱり直線になるだろうな、と思いつつ、
解く過程が (2) へのヒントになることを期待しているところです。

補足

（この問題に回答してくださった皆さんにお伝えしたいので、
　ここに書かせて頂きます。）

今までの皆さんの回答やmontmortさんの回答のおかげで、
皆さんがすでに (3) を完全に解いていることがやっと理解できました。
（本当はもっと早く理解すべきだったと思うのですが…）

それで、(2) に移りたいと思います。
ただ、ここまでが長くなりましたので、
いったん締め切って新しく質問した方がよいとお考えの方は、
その旨お伝えください。

回答No.8

montmort

質問者さんとともに別サイトから移動してきました．このサイトの登録に手間取っていました．
ここまでの私の経過は変分法を用いてアプローチするというものでしたが，見当違いでした．後半Aは直線ではなく曲線で泳ぐという前提で話を進めてきました．しかし，それは大きく遠回りをして結局kts2371148さんの答えにたどり着くという結果になり，それは直線となりました．
また，v/V>0.217233628211221となり，ktsさんの答えと一致しました．
１）Aは池の中心を通り直径の長さがRv/Vの円上を逃げる．最初の瞬間の方向は鬼と反対の方向．鬼が方向を変えない限りこの運動を続ける．方向を変えた場合は同時に鬼と自分を結ぶ直線について対称な軌跡上をたどる．この間，終始Aと鬼は中心を挟んで反対側にいる．最終的に池の中心からRv/Vだけ離れた位置にたどり着く．鬼はやはり反対側にいる．
ここまでを前半とする．
後半は，池の中心を中心とし，半径Rv/Vの円に接する直線状を逃げる．方向はどちらでもいいが，今まで泳いできた方向と同じほうが自然であろう．この途中鬼は追う方向を変えることは鬼にとって最善ではないが，ちょうど鬼が反対側に行ったところでAは切り返せば問題ない．
Arccos（v/V)＋π＝√（（V/v)^2－１）を満たすｖ/Vでちょうどつかまるので，それより速い速度が必要．
3）は本質的に(1)と同様の問題と思われ，前半を半円弧，後半を直線という考え方でいいと思います．
2)についてもやはり前半と後半で考えるのがいいと思いますが，ひょっとしてこの問題に関しては汎関数の入り込む余地があるかも知れないと思っています．ちょっと未練がましい．

お礼

回答ありがとうございます。
再びお会いできてうれしいです。
これからは、時間制限もなく、双方向のやり取りが可能で、
充実した回答が得られる、この OKWave で議論を進めていきましょう。

前半について
>> 池の中心を通り直径の長さがRv/Vの円上を逃げる
とのことですが、
私は No.6 のお礼のところでその戦略に言及しています。
その軌道がどんな形になるかは私は調べていませんが、
Excel で確認する限り、半円のように見えます。

後半について、No.7 までの皆さんは
「後半は直線である」という前提で
議論を進めているように見えますが、
私は、直線も曲線もあり得るとして計算を進め、
結果として直線の戦略が最適だった、
という方法のほうがいいと思います。

それから、
>> この途中鬼は追う方向を変えることは鬼にとって最善ではないが，
>> ちょうど鬼が反対側に行ったところでAは切り返せば問題ない．
というのは、
　前半の戦略から後半の戦略に切り替えた瞬間に鬼が反転しても、
　　Ａさんは切り返せば問題ない
ということなのか、
　任意の時間で鬼が反転しても、
　　Ａさんは切り返せば問題ない
ということなのか、どちらなのでしょうか。

私は、鬼が最善の戦略をとらなかった場合に
Ａさんがどう動けばいいか、いまだにわからないのです。
No.7 の補足もご覧頂き、
上記のことについて、No.7 の補足について、
montmortさんの意見もお聞きできればうれしく思います。

回答No.7

SortaNerd

No5です。
ああ…微分か。判別式からどうするんだっけとかずっとやってた。
自分の数学力(特に微積力)のなさが恨めしい…。

で、反対側から回った方が早いということについてですが、それは結果論です。
No6さんも書いていますが、
r(No6さんの書き方ではθR)地点から進む時に、仮に鬼が反対に回りだしたらその瞬間人も反対に回ればいいのです。
また、それ以降には、各時刻において鬼と人の場所を考えて見れば分かりますが、鬼と人の間の中心角は常に180度未満ですから反転はあり得ません。
rの外側では人は鬼より速い角速度で動くことはできませんから。

ちなみに答えは幾何的に考えると、r地点と上陸地点の間の中心角をθとして(No5のθと同じ。No6さんのθとは別)、
Rsinθ=R・v/V・(π-θ)
となり、v/VをWとおいて書き換えると
√(1-W^2)=W・(π-acosW)
acosW=π-√(1-W^2)/W
W=cos{π-√(1-W^2)/W}
となり、三角関数力もない自分にはこれ以上変形できないのですが、厳密解も求められそうな予感がします。

さてこれで(1)がとけたと同時に(3)も多分解けていますね。あとは(2)ですか。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげ様で、完全回答にかなり近くなってきたと思います。

続きは、補足に書くことにします。

補足

（この問題に回答してくださった皆さんにお伝えしたいので、
　ここに書かせて頂きます。）

反対側から回った方が早いかどうかということについては、
SortaNerdさんやage_momoさんの回答を読んで
自分で改めて考えてみて、理解することができました。

でも、私の
>> 右回りの方が、どう考えても捕まえやすいような気がするのですが。
という疑問も完全には消えていないように思います。

今回の質問では、
「鬼は可能な限りＡさんを捕まえようと最善の方法で走ります。」
となっています。
ですから、皆さんがご指摘の通り、
鬼は、右回りの方がどう考えても捕まえやすいような気がするにもかかわらず、
左回りをするわけです。

でも、もし質問を変えて、
「鬼はＡさんの戦略を知り尽くしているとして、
　Ａさんは鬼の戦略を知らないとして、
　それでも逃げ切るためにはどうしたらいいか？」
となると、鬼はＡさんが上下方向にしか動かないことを知っているので、
Ａさんが上に動けば右回りをし、下に動けば左回りをします。
そうなると、Ａさんは逃げられなくなってしまいます。

ということは、いったんここで質問を締め切って、
上記のような形で新しく質問した方がいいでしょうか？

皆さんのご意見を伺えればと思います。

回答No.5

SortaNerd

まだ解けていませんが解き方は分かりました。

No3,4さんのrを使って、
rだけ進んだ地点から斜めに一直線に進んで、半径方向に進んだ場合より池の中心を基準にθだけ離れた所に着くための時間は、
√{ (Rsinθ)^2 + (r-Rcosθ)^2 }/v
それまでに鬼が進む時間は
(2π+θ)V
となります。
あとはどうにかすれば最適解が求められそう。

ちなみに、これで最適解が求められる証明は、
ある地点において、
・鬼は離れているほど良い
・岸に近いほど良い
ので、鬼を反対側に保ってrのところまで進むのは明らかに最適。
そこから先は、
・途中でr圏内に入れば振り出しに戻るので考えない。
・途中で鬼が前方に来ればもう間に合わないので考えない。
r圏内に入らず、鬼が前方に来ない限り鬼は一方向に進むので、その間に最も長い距離を進めるコースは直線。
でいいと思います。

なお、本当に一直線に進むと鬼が反対から回ってきますので、最初に反対側に無限小の距離だけ進みます。

お礼

回答ありがとうございます。
＃３，４さんの回答からさらに一歩進んでいると思います。
しかし、

>> なお、本当に一直線に進むと鬼が反対から回ってきますので、
>> 最初に反対側に無限小の距離だけ進みます。

のところで、本当に無限小の距離を進むだけで鬼がだまされるのか、
無限小の距離を進んだ後、
反転した時点で鬼はＡさんの戦略に気づくのではないか、
といった疑問を感じています。

回答No.4

noname#47975

#3です。
間違いではないと思いますが、少し冗長な考え方をしている部分があったので訂正します。

＞(3)については、

Ｒ、Ａ、Ｖはそれぞれ条件を満たすように固定されているものとし、
半径ｒの地点で着地目標地点に対して鬼のいる反対側の位置になるまで周回を近づける事が前提となり、その上で、（Ｒ－ｒ）/ＡＶを最小とするようにｒを定める事だと思います。
すなわち(5)より、ｒはＲＡ（＝Ｒ×（ｖ/Ｖ））に限りなく近い値に設定すれば良いと思われます

（Ｒ－ｒ）/ＡＶが最小であるという捉え方をするよりも、
単純に（Ｒ－ｒ）が最小であると捉えるべきだと思われました。
少々補足しておきますと、Ｒ－ｒの距離が小さければ、Ａが陸に着くまでにかかる時間がより少なくなり、その間に鬼が追いかけて進む距離も小さくなるので、結果として、鬼はＡが着地した地点から最も離れる事になるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
問題に挑んで回答してくださった方としては初めてですね。
感謝します。

さて、

>> Ａが池の中心から半径ｒだけ進み、
>> そこで、着地する目標位置と鬼の位置とが離れるように
>> 周回しつつ調整します。
>> あるところまで離れれば（最大１８０度まである）
>> 即、Ａは陸地を目指して直進します。

という戦略では、逃げ切れる v/V の下限は
　1/(π+1) ≒ 0.2415
ということですね。
ということは、ビルゲイツの面接試験問題はもう解けていますね。

考えてくださった戦略のうち、
前半については私も同じ意見です。
後半については、直進ではなく、うまく角度を調節すれば、
Ａさんの速度がもっと遅くても逃げ切れるのではないかと思っています。
（おそらく、v/V の下限は 0.218 程度だと思います。）
考えがまとまったら、補足を使って報告したいと思います。
ただ、仕事が忙しく、考えをまとめられるのが
１週間以上先になるかもしれません。
（回答へのお礼等はできるだけ早くしたいと思っています。）

回答No.3

noname#47975

(1)についてですが、
特に、（鬼が半周する時間）＜（Ａが距離Ｒだけ真っ直ぐに進む時間）の場合に、魔の手から確実に逃れられるための戦略としては以下のようになるかと思います。

「Ａが池の中心から半径ｒだけ進み、そこで、着地する目標位置と鬼の位置とが離れるように周回しつつ調整します。あるところまで離れれば（最大１８０度まである）即、Ａは陸地を目指して直進します。」

この戦略で逃げられるケースが存在するための必要十分条件は以下の２項目を満たしたときである。

(1)半径ｒだけ離れた箇所において、（Ａが１周する時間）＜（鬼が１周する時間）とならなければならない。

(2)半径ｒの位置から直進して陸に向かうケースでは、（ＡがＲ－ｒだけ進む時間）＞（鬼が半周する時間）とならなければならない。

この２条件さえ満たせばこの戦略で確実に逃げる事が可能です。
ｖ/Ｖ＝Ａとおくと、

(1)より、

（２πｒ）/（ＡＶ）＜２πＲ/（Ｖ）
ｒ/Ａ＞Ｒ
ｒ＜ＲＡ---(3)

(2)より、

（Ｒ－ｒ）/ＡＶ ＜　（πＲ）/Ｖ
（Ｒ－ｒ）/Ａ ＜　πＲ
（Ｒ－ｒ）＜πＲＡ
Ｒ（１－πＡ）＜ｒ---(4)

(3)(4)より、

Ｒ（１－πＡ）＜ｒ＜ＲＡ---(5)
(5)の不等式を満たすためには、
Ｒ（１－πＡ）＜ＲＡ---(6)
厳密には、０≦Ｒ（１－πＡ）＜ＲＡ ≦ Ｒ--(7)
まず(6)を解くと

A >１/(π＋1)--(8)

(7)を解くと、(1/π) ≧ A > 1/(π+1)となるが、
1/π < Aの場合はこの戦略を用いなくても、池の中心から、ただ鬼がいる反対側の方向に直進して逃げればよい。そういう意味では確実に逃げられるための必要十分条件は(8)のみで良いと思われる。

(3)については、

Ｒ、Ａ、Ｖはそれぞれ条件を満たすように固定されているものとし、
半径ｒの地点で着地目標地点に対して鬼のいる反対側の位置になるまで周回を近づける事が前提となり、その上で、（Ｒ－ｒ）/ＡＶを最小とするようにｒを定める事だと思います。
すなわち(5)より、ｒはＲＡ（＝Ｒ×（ｖ/Ｖ））に限りなく近い値に設定すれば良いと思われます。

(2)については、

結局Ａは（半径Ｒ）＋（半径ｒの時点で何度か周回する距離）だけ進むことになる。なので、ｒの位置で周回する際に出来る限り早く鬼の反対側に来て、直進出来るように実現すれば良いと思われます。よって、ｒを出来る限り小さくするように設定すればよいと思います。
すなわち(5)より、ｒ　＞　Ｒ（１ーπＡ）＝Ｒ（１－π（ｖ/Ｖ））となる事からｒをＲ（１－πＡ）よりも出来る限り近い値に設定すればよいかと思われます。

回答No.2

BONUSU

余計なお世話ですが、ご質問の内容が不完全ですよ。
ご記述の内容だけ見るとｖ＞Ｖであれば簡単に逃げることが出来てしまいます。

Ａさんは岸に向かってまっすぐ進み、
岸の直前で岸に沿って方向を替え、鬼から離れたところで岸に上がればよいのですから…

でもリンク先をみて
こりゃぁ手に負えない難問とわかりましたｗ
ご検討を祈ります。

お礼

回答ありがとうございます。

>> ｖ＞Ｖであれば簡単に逃げることが出来てしまいます。
もちろんその通りです。

そして、v/V > 1/π であれば、
一直線に逃げれば簡単に逃げることができます。
（でもこれは (1) と (2) の答えには関係がありますが、
　(3) の答えには関係がなさそうです。）

言葉足らずでしたが、この質問は、
「逃げ切れる v/V の下限は何か」ということです。
（質問で「上限」と書いてあるところは、
　「下限」の誤りですね。）

回答No.1

noname#58440

私なら潜って川の底をひっそりと出ていきます。
池の周囲を回ってる鬼には見つからないと思います、見つからない為にもゆっくり泳ぐ方が良いと思います。

あるいは、泳がずに岸から手の届かない場所でジッ～っと待って鬼が池の反対に行った時に急いで池から出て行きます。

お礼

回答ありがとうございます。
一応釣られてみますと、

>> 私なら潜って川の底をひっそりと出ていきます。
なかなか斬新な発想ですね。
潜っている間には呼吸ができないので、
息がもつかどうかが心配ですが…

>> 泳がずに岸から手の届かない場所でジッ～っと待って
>> 鬼が池の反対に行った時に急いで池から出て行きます。
鬼がトイレにでも行った隙に、ということでしょうか。
これまた斬新な発想ですね。
かなりの持久戦になりそうです。

まじめな答えも欲しいところですが…

補足

（以下の内容は、この回答に対する補足ではなく、
　私がした質問に対する補足です。
　「回答への補足」の欄はあるのですが、
　「質問への補足」の欄はありませんので、
　やむを得ずこのような方法をとることにします。
　どうかご容赦下さい。）

この質問の答えを考えている途中で、まだ回答されていない方は、
途中でかまいませんので、
「いま考えている途中です」とでも回答して頂ければうれしいです。
私や＃３～＃５さん以外にも考えてくださっている方がいることを
知ることができれば、私にとっても挑戦中の人にとっても
励みになると思いますので…

考えている途中の方は、「こういう方針で考え中です」
といったことも書いていただけるとうれしいです。

私も考え中です。もう少しまとまったら報告します。