物理の問題です。

質問

時刻t=0(s)にx軸上の原点から運動をしはじめた物体の速度v(m/s)が下のように変化した。この運動におけるa-tグラフとx-tグラフを求めよ。
t=0 v=0 ,t=1 v=1 ,t=2 v=2 ,t=3 v=2 ,t=4 v=2 ,t=5 v=0

一度解いてみたのですが、t=4～5の時の変位の出し方が分かりませんでした。
加速度をa(m/s^),変位をx(m)として私の解いていたのが間違っていなければ、
t=0～２のときa=1 v=t x=1/2t^
t=2～4のときa=0 v=2 x=2t-2
t=4～5のときa=-2 v=-2t＋10となると思います。
ｖを積分すれば良いらしいのですが初期値の出し方がわからず、最後まで回答を導くことができませんでした。
t=4～5のときの初期値の出し方、変位の求め方を教えてください。

また、私が解いていた部分で間違いがあればご指摘ください。

回答No.2

hitokotonusi

こんな問題なら面積から求めそうなものですが，積分でいいんですね？

一般に時刻t1からt2の間の変位Δx(t1,t2)は

Δx(t1, t2) = ∫[t1->t2] v(t) dt

なので4秒から5秒の間の変位は，そのままやれば

Δx(4, 5) = ∫[4->5] (-2t+10) dt = [-t^2+10t][4->5]
= -5^2 + 4^2 + 10(5-4) = 1m

4秒が時刻0になるようにt'=t-4という変数変換をはさめば

Δx(4, 5) = ∫[4->5] [ 2 - 2(t-4) ] dt = ∫[0->1] [ 2 - 2t' ] dt'
= [2t' - t'^2][0->1] = 1m

4秒では時刻0の位置からx(4s)=6m 動いているので

x(5) = x(4) + Δx(4, 5) = 6m + 1m = 7m

回答No.1

watecolor1969

文面から、高校物理と勝手に解釈して話をします。
まず、質問者様の解答の部分を一部修正して誤解が
生じないように書き直すと以下のようになります。

t=0～2 のとき等加速度運動なので a(t)=1 v(t)=t x(t)=(1/2)t^2
t=2～4 のとき等速運動なので a(t)=0 v(t)=2 x(t)=2t+2
t=4～5 のとき透過速度運動なので a(t)=-2 v(t)=-2t＋2 ?

ここで、v(t)-t グラフを書いてみましょう。
台形型になるはずです。
t=Tでの変位x(T)は、v(t)をt=0からt=Tの区間で積分することで出るのですが、
この積分は、このv(t)-tグラフで t軸とv(t)曲線（この場合直線）と
t=T(v(t)軸に平行な直線)で囲まれた部分の面積を出すことにほかなりません。

t=4での変位はx(t)=2t+2 にt=4を代入すれば求まるので、
あとは、t=4からt=Tまでの台形の面積を求めて、
t=4での変位x(4)にたしてあげれば良いだけです。

ちなみに、積分で求める場合を以下に記しておきます。
物体の加速度をa(t)と時間tの関数でした場合、
速度v(t),変位x(t)は以下のようになります。

時刻t=t_1からt=t_2までの変化を見る場合
その間の速度の変化⊿v=v(t_2)-v(t_1)=∫[t_1,t_2]a(t)dt ・・・(1)
その間の変位の変化⊿x=x(t_2)-x(t_1)=∫[t_1,t_2]v(t)dt ・・・(2)
となります。

ここで、本問の場合を考えると(2)式を変形して

x(t_2)=∫[t_1,t_2]v(t)dt+x(t_1)

このx(t_1)が初期値になります。

積分区間（[]内）をt_2=t,t_1=0とすると
x(t)=∫[0,t]v(t)dt+x(0)
=∫[0,2]v(t)dt+∫[2,4]v(t)dt+∫[4,t]v(t)dt+x(0)
=∫[4,t]v(t)dt+∫[2,4]v(t)dt+∫[0,2]v(t)dt+x(0)
=∫[4,t]v(t)dt+∫[2,4]v(t)dt+x(2)
=∫[4,t]v(t)dt+x(4)
=∫[4,t](-2t+2)dt+x(4)

というふうになります。

ここで、∫[4,t](-2t+2)dt が上述の台形の面積、
x(4)=2*4+2=10がt=4での変位(初期値)です。