力学について

質問

mdv/dt=-mg-mkv^2をt=0で初速度V＞０で投げたときｖについて解くと
　ｖ＝V－√(g/k)tan(√gk*t)/1+V√(k/ｇ)tan(√gk*t)
となるよう証明していただきたいです。
大変わかりにくい表記になってしまいましたがどうかご回答お願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

mdv/dt=-mg-mkv^2 ⇒　dv/dt=-g-kv^2=-k(v^2+g/k)

変数分離して

dv/(v^2+g/k)=-kdt

両辺を積分する。

公式∫dx/(x^2+a)=(1/√a)arctan(x/√a)+ｃ (a>0)を用いる。

1/√a=√k/g

(√k/g)arctan(v√k/g)+c=-kt (1)

t=0のとき

(√k/g)arctan(V√k/g)+c=0 ⇒ c=-(√k/g)arctan(V√k/g)

(1)に代入

(√k/g)arctan(v√k/g)=(√k/g)arctan(V√k/g)-kt

arctan(v√k/g)=arctan(V√k/g)-t√kg (2)

arctanx=α－βのとき両辺のtanを取るとtan(arctanx)=x故

x=tan(α－β)=[tanα-tanβ]/[1+tanαtanβ]

これを(2)に適用(α=arctan(V√k/g), β=t√kg

v√k/g＝[V√k/g-tan(t√kg)]/[1+(V√k/g)tan(t√kg )]

v=[V-(√g/k)tan(t√kg)]/[1+(V√k/g)tan(t√kg )]

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございます。今迄見たことがないくらい完結で公式まで書いて頂いて本当に感謝しきれない限りです。本当に助かりました。

回答No.2

feles_c

mdv/dt=-mg-mkv^2 にｖ＝V－√(g/k)tan(√gk*t)/1+V√(k/ｇ)tan(√gk*t)を代入して、等式が成り立つこと。
t=0をｖ＝V－√(g/k)tan(√gk*t)/1+V√(k/ｇ)tan(√gk*t)に代入して v = V となること。

それだけ。

お礼

回答ありがとうございました！