円板に剛体棒でスライダーと連結された力学系

質問

下の図において、速度ｖ（一定）で右に動く図のような力学系があり、円板は滑らずに転がるものです。このとき長さ2r質量mの剛体棒、半径r質量mの一様な円板を用いた機構です。

このとき、剛体棒の回転角速度と支点Ｂの速度を求めようと思っているのですがどのように考えたらいいのでしょうか？自分はどちらかといえば電機系学科よりなので…

まず自分で考えた手順なのですが、

(1)円板の回転速度を求めました。
v=rωより、
ω=v/r
と求めました。

(2)次に(1)をもとにして支点Ａの速度を求めました。
va=r/2*v/r=v/2

(3)剛体棒の角速度を求めようと思います。
しかしながら、いかんせん納得が出来ないことがございます。
角速度ということなので棒のどこかが回転支点となっていなければならないとおもうのですが、この場合にはどこを支点と考えて剛体棒が回転運動を行っていると考えるべきなのか？
これが不明です。おそらくなのですが、Ｂと考えてＡにトルクがかかり回転運動を起こしていると考えられる気がするのです。
その考えを元にして回転角速度を考えると、
ω=va/2r=v/4r

となると思っているのですがどうなのでしょうか？

また、支点Ｂにかんしては、円板が滑らずにｖで移動していることより、スライダー速度vsは、vより小さくなると思います。
事実、棒の一部である支点Ａの速度はv/2となっています。
どのように考えたらよろしいのでしょうか？

回答No.2

yokkun831

座標の関係を先に求めて，速度を求めたいのならそれを微分するのがよいと思います。

点Cの水平座標：Xc = vt
点Aの水平座標：Xa = Xc + r/2・cosωt，　ω = v/r
点Bの水平座標：Xb = Xa + √{(2r)^2 - r^2(1 + 1/2・sinωt)^2}

となります。
点Bの位置と速度の時間変化をグラフで示します。

参考になりましたら。

回答No.1

yokkun831

>どこを支点と考えて剛体棒が回転運動を行っていると考えるべきなのか？

剛体の回転は，軸をどこにおいても回転角（回転角速度，回転角加速度）は同じですが，もし運動方程式を立てようと思うならば，重心の運動と重心周りの回転運動に分けるのが本筋ですから，重心を軸にとられるのがよいような気がします。しかし，円板が等速度運動するようにコントロールされていて，棒とスライダーの運動を求めたいのならその必要はないと思います。

>(2)次に(1)をもとにして支点Ａの速度を求めました。
va=r/2*v/r=v/2

これは，あくまで点Cを軸とした回転の速さであり，床に対する速度ではないことに注意したいと思います。円板が等速度でころがるのならば，棒とスライダーの運動は図形的に決定してしまいます。