三角関数

質問

すべての実数 θ に対して、　sin θ + cos ( θ + α ) = k
が成立するとき、実数の定数 k , α の値を求めよ。　
ただし、0 ≦ α ＜ 2π とする。

　sin θ + cos ( θ + α )
= sin θ + cosθcosα - sinθsinα
= ( 1 - sinα )sinθ + cosαcosθ
= √{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )　　（ √　は{　} の中だけかかっています。）
これが θ によらず一定のとき
（ 1 - sinα )^2 + cos^2α = 0
sinα = 1
0 ≦　α　＜　2π　より
α　＝　π / 2 , k =0

前にも書いたやつの別解なんですが。

「これが θ によらず一定のとき
（ 1 - sinα ) + cos^2α = 0
sinα = 1 　　　　　　　　　　　」

この部分がなんで、（ 1 - sinα ) + cos^2α = 0
になるのかがわかりません。教えてください。
それと、別解もやっぱり解けるようにしておかなくてはいけないんでしょうか？

回答No.6

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

とりあえず、簡単に解いてみますね。

　sin θ + cos ( θ + α )
= sin θ + cosθcosα - sinθsinα
= ( 1 - sinα )sinθ + cosαcosθ

ここまでは同じとして、

これがθに依らない定数 k になるには、
sinθとcosθの係数が両方とも 0 でなければなりません。
sinθとcosθは全然違う振舞いをするので、明らかです。

明らかですが、もしちゃんと証明したければ、例えば
( 1 - sinα )sinθ + cosα cosθ = k
をθで微分すると、
( 1 - sinα )cosθ - cosα sinθ = 0
ですが、これにθ=0、π/2 を代入すれば、直ちに、

1 - sinα = 0
cos α = 0

が得られます。

これより、α = π/2 が得られ、さらにこれを再び最初の式に代入して、直ちに k = 0 が得られます。

さて、ご質問に戻りますね。

> √{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )　
> これが θ によらず一定のとき
> （ 1 - sinα )^2 + cos^2α = 0
> になるのかがわかりません。教えてください。

とのことですが、sin(θ+β) は θが変わるとどんどん変わるわけです。
しかし、これがいつでも k という定数に等しくないといけないわけですから、その係数が 0 になる以外定数にはなれません。

つまり、A sin x = k という関数を考えてください。
A = √[（ 1 - sinα )^2 + cos^2α ]
x = θ + β　
とおきました。

左辺の A sin x は、θが変わると、すなわち x が変わると、いろんな値をとってしまい、普通なら k という定数にはなり得ません。

ただ一つ例外があり、それは A = 0 の場合です。
他の A の値では、定数になるのは無理です。

もし、納得できないとしたら、どんな x についても成立つのだから、x = 0 と π/2 を代入してみましょう。すると、

0 = k
A = k

が得られます。故に、A = k = 0 です。

ただ、もちろんこれでも良いわけですが、どうせ同じようなものなのですから、最初に示した二つの係数が 0 という考えのほうが、いくぶんすっきりしているように思えます。

> それと、別解もやっぱり解けるようにしておかなくてはいけないんでしょうか？

前のご質問を見てないのですが、いろんな解き方ができるほうが理解が深いということはいえます。

理解が深いと、いろんな問題に幅広く柔軟に対応できます。

もし、そういう能力が必要なく、同じ問題が出たときに解けさえすれば良いという価値観でしたら、その問題の一つの解法だけ暗記しておけば良いでしょう。

ただし、それでは本当の意味での数学の実力は付かないと思いますが。

お礼

丁寧に答えてくれて、ありがとうございました。

回答No.5

noname#57316

最も簡単な解法！
sin θ + cos ( θ + α ) = k を
sin θ + sin {(θ+α)+π/2} = k とすると、
左辺 = 2・sin[(θ+{(θ+α)+π/2})/2]・cos[(θ-{(θ+α)+π/2})/2]
　　 = 2・sin[(θ+{(α/2)+π/4}]・cos{(α/2)+π/4}
θ がいかなる値をとる場合でも、つまり、sin[(θ+{(α/2)+π/4}] が
-1 ～ 1 までのいかなる値をとっても、左辺が一定になるなら、
k = 0、及び cos{(α/2)+π/4} = 0 でなければならない。これから
(α/2)+π/4 = π ± π/2、そして、当然、k = 0。
0 ≦ α ＜ 2π であるから、α = π/2 に限られる。
従って、α=π/2、k=0

お礼

どうも、回答ありがとうございました。

回答No.4

take_5

前回の質問でも書いたが、最初の解法は必要条件を先ず求め、次に十分条件である事も確認しなければならない。
“２つの値”に対して成立したが、同時に“それら以外の全ての値に対して”成立する事の確認が必要だから。

別解は、私が示したものと同じだが、こちらは簡単。

＞( 1 - sinα )sinθ + cosαcosθ
= √{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )　　（ √　は{　} の中だけかかっています

但し、この変形は無用。
そんな変形をしなくても、Ａsinθ+Ｂcosθ-k＝0とすると、A＝B＝k＝０であれば、全てのθに対して右辺＝0であることは自明であり、逆も成立する。
従って、必要十分条件である事は自明。

＞別解もやっぱり解けるようにしておかなくてはいけないんでしょう
か？

解ければ良いってことじゃない。
１つの問題に複数の回答を与える事は、視野を広め思考力を向上させる。
別解を憶えるというのではなく、1つの解法に満足しない事。
闇雲に沢山の問題を解くより、余程有効な高校数学の勉強方法だと思う。

回答No.3

kumipapa

＞　√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )がθによらず一定ならば、( 1 - sinα )^2 + cos^2α＝０

まず、最初に確認ですが、αは定数です。
ですから、√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }も定数であり、sin()の係数にすぎません。
その点、問題を解いている間に忘れてしまっていませんか・・・

A sin(θ+β）＝ c　（A、β、ｃは定数）

が任意のθで成立するための必要充分条件は、A＝ｃ＝０　です。もし、それが疑問なら、異なるθをA sin(θ+β）＝ c　に入れて連立方程式を解いてみれば良いでしょう。前回の質問と同じ考え方です。

ということで、

( 1 - sinα )^2 + cos^2α ＝ ０

が、条件を満足するための必要充分条件です。

お礼

ありがとうございます、わかりました。

回答No.2

proto

√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )
をθの関数として見ましょう、θ以外は定数ですから上の式は
　A*sin(θ+β)
と同じことですね。
さてこれがθによらず一定になるわけですから、この関数が定数関数になるということですね。
で、A=0の時を考えると
　0*sin(θ+β) = 0
となって定数になります。
逆にそれ以外の場合は定数関数にはならないことがわかります。

A=0のとき条件をみたすわけですから、置き換えを元に戻して
　√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α } = 0
　( 1 - sinα )^2 + cos^2α = 0
となります。

お礼

理解できました。どうもです。

回答No.1

purisukin

√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin ( θ + β )= k・・・(1)
(1)はθに関する式でθの値が変化すると(1)の値も変化します。
しかし最初に「すべての実数 θ に対して～」と書いてあるので、ｋはθの値に関係なく値が決まっていることになります。
もし(1)にθがなければ「すべての実数 θ に対して」(1)は成立します。
なので　√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }　この部分が０だと、√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }sin(θ＋β)も０となり、(1)は０＝ｋとなります。
つまり式からθがなくなり、すべての実数 θ に対して成立することになります。
よって√{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }＝０
　　　{ ( 1 - sinα )^2 + cos^2α }＝０　　となります。,,

※こういった「すべての□に対して～は成立する。」となっている式では□の係数を０にしてしまえばいいです。

お礼

ありがとうございます。わかりました。