三角関数について

質問

関数f(θ)＝sin2θ-a(sinθ＋cosθ)+2とする。
また、t=sinθ+cosθ,0≦θ≦πとする。

1.f(θ)の最小値m(a)を求めよ
2.f(θ)>0が0≦θ≦πで常に成立するような定数aを求めよ。

解法を教えてください。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

まずtの取り得る値の範囲を求めます。
「三角関数の合成（単振動の合成）」はご存知と思いますが
sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
と変形できます。
ここで，0≦θ≦πですから，π/4≦θ+π/4≦5/4πです。
この範囲では
-1/√2≦sin(θ+π/4)≦1
-1≦√2sin(θ+π/4)≦√2
∴1≦t≦√2

さて
f(θ)＝sin2θ-a(sinθ＋cosθ)+2
において
sin2θ
=2sinθcosθ
=(sinθ＋cosθ)^2-(sin^2θ＋cos^2θ)
=t^2-1
であるから
f(θ)=t^2-1-at+2
=t^2-at+1
=(t-a/2)^2-a^2/4+1
このｔの２次関数をg(t)とおく。
g(t)=(t-a/2)^2-a^2/4+1　　（ただし，-1≦t≦√2）

g(t)のグラフは点(a/2,-a^2/4+1)を頂点とする下に凸の放物線。-1≦t≦√2におけるg(t)の最小値は次のように求められる。
（１）a/2<-1つまりa<-2の場合
最小値はg(-1)=(-1)^2-a(-1)+1=a+2
（２）-1≦a/2＜√2つまり-2≦a＜2√2の場合
最小値はg(a/2)=-a^2/4+1
（３）a/2≧√2つまりa≧2√2の場合
最小値はg(√2)=(√2)^2-a(√2)+1=-√2a+3

以上（１）（２）（３）より
a<-2の場合　m(a)=a+2
-2≦a＜2√2の場合　m(a)=-a^2/4+1
a≧2√2の場合　m(a)=-√2a+3
となります。これが１．の答です。

２．はこのm(a)の最小値が正になるようなaの範囲を求めればよいのですが，上で求めたm(a)のグラフを書いてみるとわかるのですが，m(a)はどこまでも小さくなりえるのでf(θ)>0となるaの値は求められません。問題に間違いはありませんか。
f(θ)<0という問題ならm(a)のグラフから明らかなように，-a^2/4+1<0を満たすaの範囲を求めればよいです。これからa<-2またはa>2となるのですが……。

（それとも，どこかで計算違いをしているのかなあ？）

回答No.1

EH1026TOYO

1. f(θ)をtの二次式で表せるように変形し(t - △)² + ◇と表せばｔ＝△のとき最小値m(a)=◇が出せる

2. f(θ)>0 であるためには1.で導いたtの二次(不等)式の判別式D＜0
これよりaの値が求まる