三角関数

質問

すべての実数 θ に対して、　sin θ + cos ( θ + α ) = k
が成立するとき、実数の定数 k , α の値を求めよ。　
ただし、0 ≦ α ＜ 2π とする。

θ = 0 , π / 2 で成り立つので

( θ = 0 )
cos α = k　・・・・・(1)
( θ = π / 2 )
1 + cos ( π / 2 + α ) = k
1 - sin α = k　・・・・(2)
・
・
・
以下省略

なぜ、「θ = 0 , π / 2 で成り立つので　」と言えるのですか？
教えてください。

回答No.1

yasu2209 · ベストアンサー

単に　θの定義が「すべての実数」なので　実数である 「0 , π / 2」 でも成り立つ、つまり一般の中の２つの特殊例を引っ張りだしただけということでしょう。
計算のしやすさから「0 , π / 2」の２つを選らんでいますが理論的には「π / ４、π / ８」といった選び方をしてもいい、ということです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

take_5

＞なぜ、「θ = 0 , π / 2 で成り立つので　」と言えるのですか？

どんな値でも良いが、扱いやすい値を使えば良いだけです。

注意すべきは、θ = 0 , π / 2 で成り立つので実数の定数 k , α の値を求めるという事は、必要条件に過ぎない事です。
何故なら、高々2つの値にたいしてしか成立していないからです。
求めたk , α の値に対して、十分条件でもある事を確認する必要があります。

別解として、与式を展開してθについてそろえ、
sinθ(1-cos α)＋cosθsinα-k＝0とする。
これが、任意の実数θにたいして成立するから1-cos α＝sinα＝k＝0である事が必要十分条件である、としてα＝0、k＝0を求めるが良い。

お礼

どうも、ありがとうございます。

回答No.2

LucyDiamond

問題文に「すべての実数θに対して、・・・成立する」と書いてあるからです。
すべての実数で成り立つから、０やπ/2でも成り立つのです。
別に０やπ/2に限るわけではなく、1や-2.3、π/3でもいいのですが、０とπ/2のほうがθに代入したときに式変形が楽なので、その2つの値を選んでいるに過ぎません。
問題のような恒等式において、適当な数を選んだ上で連立方程式を作るというのはお決まりのパターンですね。

お礼

理解できました。ありがとうございました。