三角関数指数関数融合問題

質問

実数θ(0＜θ＜π)が等式(sinθ+cosθ)/(sinθ-cosθ)=3+2√2を満たすとき、
f(x)=｛log_2 (x/2sinθ)｝｛log_4 (x/4sinθ)｝
の最小値とその時のxの値を求めよ。ただしx＞0とする。

この問題を教えてください。
sinθ=√6/3までは出ました。

回答No.1

debut · ベストアンサー

log_4・・の方を底を２に変換し、log(A/B)=logA-logBから
log_2 x についての２次関数として考えます。
適宜おきかえして、すっきりした形でやればいいと思います。

log_4 (x/4sinθ)の底を２に変換すれば(1/2)log_2(x/4sinθ)
（以下、底の２は略します）
log(x/2sinθ)=logx-log(2sinθ)
log(x/4sinθ)=logx-{log2+log(2sinθ)}=logx-1-log(2sinθ)
ここで、logx=t,log(2sinθ)=kとおくと
f(t)=(1/2)(t-k)(t-k-1)
　　=(1/2){t^2-(2k+1)t+k(k+1)}
　　=(1/2){t-(2k+1)/2}^2-(1/8)(2k+1)^2+(1/2)k(k+1)
　　=(1/2){t-(2k+1)/2}^2-1/8
よって、・・・