三角関数

質問

2cos2θ+2sinθ+a-3＝0(0≦θ＜2π)が異なる3個の実数解をもつとき、aの値を求めよ。

2cos2θ+2sinθ+a-3＝0
2(1-2sin＾2 θ)+2sinθ+a-3＝0
4sin＾2 θ-2sinθ+1＝a
sinθ＝tとおいて
平方完成して
4(t-1/4)＾2+3/4＝a

また、t＝±1のとき対応するθは１つ
-1＜t＜1のとき対応するθは2つ
t＜-1、1＜tのとき対応するθはなし。

と合っているかどうかは分かりませんが、ここまで解いたのですが、その後が分かりません。
どなたか宜しくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

4(t-1/4)＾2+3/4＝aの式のtをxに置き換え、4(x-1/4)＾2+3/4＝aとします。
（tをわざわざxに置き換えるのに深い意味はないです。私が書きやすいのでそうさせてもらいます。）

4(x-1/4)＾2+3/4＝aの解は、
『y = 4(x-1/4)＾2+3/4とy = aの交点のx座標』
なのですがこの事はご存知でしょうか？
これはy = 4(x-1/4)＾2+3/4とy = aの交点を求めようと
この2式を連立させると、4(x-1/4)＾2+3/4＝aの形になるからです。
なのでまずxy平面上にy = 4(x-1/4)＾2+3/4の方物線を描いて下さい。
ただし放物線の定義域は-1 ≦ x ≦ 1です。これはx = t = sinθで、
0 ≦ θ < 2πの時、sinθが-1から1までの間の数しかとれないため、
xも-1から1の間の数しかとれないからです。

放物線を書き終えたら、次はy = aの直線を描いていきます。
y = aはx軸に平行な直線で、その高さはaです。
なのでaを色々変えてみて（つまりグラフに真横に直線を引いていって）、
放物線とどう交わるかを調べます。
今回の放物線のグラフは下に凸ですので、直線y = aが放物線の頂点より下にあると
交点がないので解が0個になります。
ちょうど頂点を通るように引いて上げると、解が1個存在し（xが一つ求まる）、
頂点より上に直線を引くと、解が1個か2個存在します
（xが一つ、あるいは二つ求まる）

さて、ここでa = 3/4の時の解を考えてみます。
この時y = aは放物線の頂点を通るので、xの解はx = 1/4のひとつだけです。
ですがこれは『xの解』です。『θの解』ははたしてひとつだけでしょうか？
ここで思い出してほしいのはx = t = sinθで、0 ≦ θ < 2πということです。
θの範囲が0°から360°までなので、x = sinθ = 1/4となるθは2つ存在しますよね？
（例：sin30°= 1/2 で、sin150°= 1/2 です。）
なのでxがひとつ解を持てば、θは二つ解を持つ可能性があります。
ただしsinθ = 1となるθとsinθ = -1 となるθはそれぞれ一つずつしかないので、
正確に言えば『xが一つ解を持てば、θは一つか二つ解を持つ』という
ことになります。

さて、今回は実数解が3つの時のaを求めたいので、
直線y = aが放物線の頂点より下の場合は考えません。
また、放物線と直線が一点でしか交わらない場合も除外になります。
(xの解が一つでは、どう頑張ってもθの解は1つ以上2つ以下)
なのでxの実数解が二つの場合、つまり放物線と直線が
二点で交わる範囲でaを考えます。
さて、xに対応するθは基本的に2つ存在するので
xの解が二つならθの解は4つになることが多いです。
なので『基本的』ではない場合を考えます。
前述のようにsinθ = x = 1となるθとsinθ = x = -1 となるθは
それぞれ一つしか存在しません。つまりこの時θの解は1つだけです。
なので放物線と直線が
『x = 1かx = -1で交わり、かつx ≠ ±1のどこかで交われば、θの解は3つ』
となります。

お礼

こんな夜遅くに詳しい解説ありがとうございました。
模試の回答・解説より分かりやすかったです。

おかげさまで安心して眠ることが出来ます。

回答No.1

debut

4(t-1/4)＾2+3/4＝a
から、y=4(t-1/4)^2+3/4・・・(1)とy=a・・・(2)のグラフの交点の数
として考えればいいのではないでしょうか。

sinθ=tで、0≦θ＜2πなので、-1≦t≦1の範囲だけでみると、
(1)は、t=-1のときy=7、t=1のときy=3で、頂点が(1/4,3/4)だから
(1)と(2)の交点の数は
・a=3/4のとき１つ。このとき、t=1/4なのでsinθ=1/4を満たすθは２つ。
・3/4＜a＜3のとき２つ。このときtの値が２つだが、それらは異なる
　ため、１つのtに対して対応するθは２つだから、θの値は計４つ。
・a=3のとき２つ。このときt=1とt=-1/2とtは２つだが、t=1からθ=π/2、
　t=-1/2からθ=7π/6,11π/6　と、θは３つ。
・3＜a＜7のとき１つ。このとき、tに対応するθは２つ。
・a=7のとき１つ。t=-1なので、θ=3π/2　と、θは１つ。

お礼

夜分遅くにありがとうございました。
参考にさせていただきます。