三角関数を含む方程式

質問

下記の（１）、及び（２）が　y　という　数値を共有するときの
角度（K1)を求めたいのですが、どのような方法がありますでしょうか。
道筋をどなたかお願いします。

尚、K1以外の数値は　全て既知の実数です。角度単位は ラヂアンです。

ｙ = (R + Xx) * Cos(K1) + (R * K1 - Yy) * Sin(K1) - R1 * Cos(K1 + B)・・・・（１）

ｙ = R * Cos(K1) + R * K1 * Cos(At) * Sin(K1 + At)・・・（２）
B = Atn((R * K1 - Yy) / (-Xx))

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「（１）、及び（２）が　y　という数値を共有するときの角度（K1)を求めたい」ということを「連立方程式を解く」と言います。
この場合、
（１）の右辺 = （２）の右辺
という式を作れば、これで未知数yが消去され、ひとつの方程式になります。
　この方程式は、Cos(K1+B)を加法定理を使って展開する事で多少は整理できますが、式の上で綺麗な答が出る所まではどうも行かないようです。なので、数値的に解くしかない。

　すなわち、R, R1, Xx, Yy, At に具体的な値を与えた上で、
f(K1) = (R + Xx) * Cos(K1) + (R * K1 - Yy) * Sin(K1) - R1 * Cos(K1 + Atn((R * K1 - Yy) / (-Xx))) - (R * Cos(K1) + R * K1 * Cos(At) * Sin(K1 + At))
という関数を計算するプログラム（excelでも良いのです）を用意して、
f(K1) = 0
になるようなK1をコンピュータで探す、ということです。
　まず、f(K1)のグラフをコンピュータに描かせてみて「f(K1)=0を満たすK1」（つまり、f(K1)のグラフが横軸と交差するところ）の近似値をグラフから読み取ります。その近似値よりちょっと小さい値をp、ちょっと大きい値をqとしましょう。
　f(p)とf(q)を計算し、これらをそれぞれfp, fqとします。すると、fpとfqの符号は異なっており、p＜K1＜qです。
(step 1) f((p+q)/2)を計算し、これをfrとします。
(step 2) もしf((p+q)/2)がfpと同符号なら、pを(p+q)/2で置き換え、fpをfrで置き換えます。
　　　もしf((p+q)/2)がf(q)と同符号なら、qを(p+q)/2で置き換え、fqをfrで置き換えます。
　　　こうすれば、「fpとfqの符号は異なっており、p＜K1＜q」という性質が成り立ったまま、pとqの差が半分になりますね。
　以後、(step 1)(step 2)を何度も繰り返せば、pとqはどんどん答K1に近づくという仕掛けです。

お礼

ありがとうございました。これは２分法ですね。これで行なうしかないかと
諦めていました。別スレッドで微分式をご教授いただいたので、今、この式を検証しています。

補足

追伸ですが
f(K1) = (R + Xx) * Cos(K1) + (R * K1 - Yy) * Sin(K1) - R1 * Cos(K1 + Atn((R * K1 - Yy) / (-Xx))) - (R * Cos(K1) + R * K1 * Cos(At) * Sin(K1 + At))
この式の本当の解の近くのK1　値は求めれられていますので、VBAで可能ですね。今検証しています。