三角関数の問題・・・

質問

θの方程式で、
cos2θ+2sinθ+2a-1=0 （aは実数の定数)・・・(*)　についての問題で

(*)をみたすθが存在するようなaの値の範囲を求めよ。
とあるんですが、

二倍角使って a=1/2(-cos2θ-2sinθ+1)
　　　　　　　　 =1/2{-(1-2sin^2θ)-2sinθ+1}
=sin^2θ-sinθ
となってsinθ=tとおいて　a=t^2-t とするところまではわかるのですが、この後わからなくて答えを見たところ答えが
-1/4≦a≦2 となってました。どうしてこうなるのか教えてくださいm（＿＿）m

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ａ　＝　ｔ^2　－　ｔ
　＝　（ｔ^2　－　ｔ　＋　１／４）　－　１／４
　＝　（ｔ － １／２）^2　－　１／４
（１／２，　－１／４）を頂点（極小値）とする二次関数となりました。
ですから、ａの下限は、１／４　です。

また、
－１≦ｔ≦１　ですが、
幸いなことに、ｔ＝１／２　は、その範囲に入っています。
ですから、
ｔ^2　－　ｔ　にｔ＝－１　を代入したもの
と
ｔ^2　－　ｔ　にｔ＝１　を代入したもの
のうち大きいほうが、ａの最大値となります。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

御丁寧にありがとうございました。
良く解りました！

回答No.1

haragyatei

tはsinなので-1<t<1で存在します。

だから　a=(t-1/2)^2-1/4

の2次関数の-1<t<1における最大最小問題になります。