可分性について

質問

関数空間の可分性についてなんですが
「Ｃ(R)が可分でない」
らしいのですが、証明が分かりません。

l＾2やＣ。(R)などが可分であることは証明できたのですが、上記のような可分でないものの証明の仕方が分かりません。
方針だけでも教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

方針だけでよいのなら、背理法。つまり可分であると仮定して、稠密可算な部分集合をとって、それからたとえば対角線論法に近いようなことをやって、どんな部分列をとっても収束できないようにする。

たまに共役空間(dual)を取って、とかいう議論をする場合もあるんですが、それは難しい問題の場合だけで、基本は上記のように証明するのです。

ちょっと略証も与えてみましょうか。細部は質問者様で埋めてください。稠密可算な部分集合が取れたと仮定する。それを{f_n}としよう。そこで、関数g(x)をg(n)=0(もし|f_n(n)|≧1なら)、g(n)=2(もし|f_n(n)|＜1なら)を満たすC(R)の元とします。他の部分はうまく折れ線でもつなげばよろしい。そうすると作り方から||g-f_n||≧1となる。これは矛盾。

少し注意ですが、gの作り方には工夫が必要です。たとえばg(n)=f_n(n)+1と満たすようにとってもよさそうな気がしますが、こうすると||g||=∞となって、gがC(R)に入らない可能性があるんですね。まあこんな感じで他にも例を作って納得してみてください。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
定義関数の部分を連続関数で近似して出来ました！
Ｃ(R)のRを上手く使ってますね。
可分でない空間を色々作ってみようと思います。

ありがとうございました。