可制御 可観測 証明

質問

現代制御論で　
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx
この状態方程式の可観測、可制御を調べる時に
AとBを組み合わせた行列の階数がn⇔可制御
AとC　　　　　〃　　　　　　　 ⇔可観測
階数を調べることで可制御や可観測を調べれることはわかりましたが
どうしてこれで判別できるのかがわかりません
このようになる理由を教えてください
また証明が書かれてあるサイトなどありましたら
それについても教えてくださると助かります

回答No.2

noname#101199

サイトは知りませんが、有名な書籍になら割と載ってますよ。
証明は式が複雑で書くのがメンドウくさいので、図書館や本屋で制御関係の書籍をご覧ください。（誰か親切な方が書いてくれるかもしれませんが、ネットで見るよりも本で見た方が読みやすいと思いますし。。）
有名な証明の出だしとしては、
・可制御であるなら、x(T)=0となるような制御量{u(t),t0<t<T}が存在することから、状態方程式の解x(t)にt=Tを代入した式が０になる。
ここで状態方程式の解に指数マトリックスが出てきますが、これを展開します。この展開はハミルトンケーリーの定理から、Aのn-1次までの線形結合として表すことができます。
ここから、またメンドい計算をガヤガヤやっていきます。

また、この逆に関していえば、背理法から簡単に証明できます。

No.1さんのおっしゃる通り離散時間に関しては、有限stepの入力で考えれば感覚的には簡単に証明できます。最終的には可制御性行列のImageや可観測性行列のkerに落ち着いていきますから、可制御や可観測の意味もわかりやすいですね。
無限stepでも成り立つことを証明するには方法は複数ありますが、Aの不変部分空間を考えたりして少々煩雑になります。
最初は離散時間で考えた方がわかりやすいと思います。

回答No.1

haragyatei

証明は複雑です。EXP（At)の展開とかが関係あります。簡単に証明できるのは離散時間系です。x（k+1)=A X(k)+B u(k) で考えてみてください。