可測関数でどうしてこれが同値関係?

質問

宜しくお願い致します。

(Ω,Σ,μ)と(R,L(R),λ)を測度空間とします(Rは実数体,L(R)はルベーグσ集合体,λはルベーグ測度)。
この時,
(ア)「f:Ω→Rが可測関数
⇔
f^-1(E)∈Σ for∀E∈L(R)」
が可測関数の定義ですよね。
でも
(イ)「f:Ω→Rが可測関数
⇔
f^-1((r,+∞))∈Σ for∀r∈R」
も可測関数の定義となってます。

(ア)と(イ)が同値であることはどうすれば示せるのでしょうか?

回答No.2

tmpname

> えっ? Tは完備化してはならないのでしょうか?

ですから、「ルベーグ可測関数」の定義で、ルベーグ可測集合族（完備σ集合体）なのは、Σの方なのです。単純に、定義を本でもう一度確認しましょう。
一度定義をきちんと確認して、一旦受け入れた上で、後の議論を見てみると、この定義でうまく議論が進むことが分ります。

補足

遅くなりまして大変申し訳ありません。もう少し調べてみます。

回答No.1

tmpname

先ず、
> が可測関数の定義ですよね。
違います。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%B8%AC%E9%96%A2%E6%95%B0
に書いてありますが、
「(Ω,Σ,μ) (R,T,λ)をそれぞれ測度空間とした時、全てのE∈Tに対して、f^{-1}(E)∈Σが成り立つ」、という時に、Σがルベーグ可測集合族、Tが『RのBorel集合族』の時、fを（ルベーグ）可測と呼ぶのです。
「右側」の「T」は、『RのBorel集合族』です。ルベーグ可測集合族ではありません。

そう（ア）を訂正すると、（ア）→(イ)は自明ですが、(イ)→（ア）も、(r,+∞)達が生成するσ代数を考えれば、そうなりそうだというのは理解できるのではないでしょうか。

補足

ご回答誠に有難うございます。

> Tが『RのBorel集合族』の時

えっ? Tは完備化してはならないのでしょうか?