測度論の問題です。

質問

f: R→R が右連続なら、fは可測関数（ボレル可測関数ないしはルベーグ可測関数）といえるでしょうか？証明付きで解説してください。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

Q=(全有理数)
f;R→R
a∈R
lim_{x→a+0}f(x)=f(a)
とすると
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
0≦x-a<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる

E={x:f(x)>r}
S=Q∩E
とすると
t∈S
に対して
G(t)={a≦t;a≦x≦t→x∈E}
H(t)={b>t:t≦x<b→x∈E}
g(t)=infG(t),(inf=下限が無い場合-∞}
h(t)=supH(t),(sup=上限が無い場合∞}
g(t)<x<h(t)
とすると
g(t)≦a<x,a∈G(t)となるaがある
x<b<h(t),b∈H(t)となるbがある
x=tの時x=t∈E
x<tの時
g(t)≦a<x<t,a∈G(t)→a≦x≦t→x∈E
t<xの時
t<x<b<h(t),b∈H(t)→t≦x<b→x∈E
だから
(g(t),h(t))={x;g(t)<x<h(t)}⊂E
g(t)∈Eの時F(t)=[g(t),h(t))={x;g(t)≦x<h(t)}
g(t)∈R-Eの時F(t)=(g(t),h(t))={x;g(t)<x<h(t)}
とすると
F(t)⊂E
F(t)の測度は
|F(t)|=h(t)-g(t)
だからF(t)は可測集合
A=∪_{t∈S}F(t)
とすると
|S|=|Q∩E|≦|Q|=(可算濃度)
F(t)は可測集合
だから
Aは可測集合で
A=∪_{t∈S}F(t)⊂E={x;f(x)>r}…(1)

a∈E={x:f(x)>r}
とすると
f(a)>r
だから
f(a)-r>0
に対して
あるδ>0が存在して
0≦x-a<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<f(a)-r
r-f(a)<f(x)-f(a)
r<f(x)
だから
x∈E
だから
b=a+δ
[a,b)={x;a≦x<b}
とすると
[a,b)⊂E
となり
(clQ=Rだから)
a<t<b,t∈S=Q∩Eとなるtがあり
g(t)≦a<t<b≦h(t)だから
a∈F(t)だから
E⊂∪_{t∈S}F(t)=A
これと(1)から
A=∪_{t∈S}F(t)=E={x;f(x)>r}
は可測集合
だから
fは可測関数

お礼

ありがとうございました。