可測関数 直積

質問

可測空間について質問です. あるテキストを読んでいると,F_X × F_Yの定義を

(X,F_X,m1) , (Y,F_Y,m2)がσ有限測度空間でX×Y={(x,y)|x∈X ,y∈Y}　C={A×B| A∈F_X,B∈F_Y}を含むX×Y上のσ集合体の中で最小のものをF_X × F_Yとする.

と、してます.

この時、例えばf(x,y)=ｘ＾ｙ　（0<=x , y<=1）がF_X × F_Y可測関数であることをいうためには、ｙを0<=y<=1で固定したときxがF_X可測であり,xを0<=x<=1で固定したときyがF_Y可測であることを言えば十分なのでしょうか？
上記の書き方で"Ｃを含むX×Y上のσ集合体の中で最小のものをF_X × F_Yとする"というような定義しているので,先のことを示すだけでは足りないのではないか,と思い質問させていただきました. 詳しい方は御教授お願いします.

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

十分ではありません。反例は、例えば、次の文献に載っています。

　　伊藤清三「ルベーグ積分入門」裳華房、数学選書４

なお、ご質問の記号の下で、仮に、Yが実数n次元空間なら、次が成立します。これも上記の文献に載っています。

「f(x,y)が、
　　(a) yを固定したときxの関数として可測
　　(b) xを固定したときyの関数として連続
なら、f(x,y)は可測。」

お礼

ありがとうございます.早速教えていただいた文献を参照してみたいと思います.