可測関数の問題について

質問

（Ｘ、Ｂ、ｍ）を可測空間とする。ｆ：Ｘ→ＲをＸ上の可測関数、ｇ：Ｒ→Ｒを連続関数とした時、合成関数ｇ○ｆ：Ｘ→ＲはＸ上の可測関数となることを示せ。とのことなんですが、なかなか上手に証明できずに困っています。どなたか最善の答えとなる導き方をご存じありませんか？

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

∀a∈Rに対して
gは連続だから
V={r∈R;g(r)<a}はRの開集合だから
n∈N,{s_n<t_n}⊂R
(s_n,t_n)={r∈R;s_n<r<t_n}
V=∪_{n∈N}(s_n,t_n) となる(s_n,t_n)がある
G∈Bに対して
fは可測だから
{x∈G;s_n<f(x)<t_n}∈B
だから
{x∈G;g○f(x)<a}={x∈G;f(x)∈V}=∪_{n∈N}{x∈G;s_n<f(x)<t_n}∈B
∴
g○fは可測

お礼

遅れましたが大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

tanukinoyama

fによるRの区間の逆像が可測集合であることがわかっているのであれば、fによるRの開集合の逆像も可測集合であることがわかります。
なぜなら、R（第二加算）の開集合は加算個の区間の合併だからです。

回答No.2

koko_u_u

>定義を教科書で読みかえしてもあやふやです・・・。

証明を読み返すべきです。

回答No.1

koko_u_u

上手でなくてもよいので、考えた証明を補足にどうぞ。

補足

例えば可測関数ｆ、ｇの合成関数は、やはり可測関数、連続関数も同様。というのは知っていて、
そのことを使うのだろうとは思っているのですが、うまく言葉で表せませない状態です。
定義を教科書で読みかえしてもあやふやです・・・。