数列空間 l^2空間の可分について

質問

l^2＝{ {Xn}| Xn∈Ｃ　Σ|Xn|^2＜+∞｝

でその部分空間la^2を

la^2＝｛ {Xn} | 有限個の Xi を除いて０｝

としたときla^2の閉包とl^2が等しいことを示したいのですが、la^2の閉包 ⊂ l^2は示せたのですが逆の

la^2の閉包 ⊃ l^2　がどうしても分かりません閉じれば成り立つことはなんとなくイメージできるのですが
どなたかお暇なときにでも良いので助けてはいただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

証明は非常に簡単で、l^2の元{Xn}をひとつ任意にとったとき、これがla^2の元で近似できればよいのです。そこで{Xn}でn≦kのときXn、n>kのとき0となる数列の列{X'n}^(k)を考えます。^(k)は添え字だと思ってください。これがl^2の意味で{Xn}に収束するのは明らかだから、これで証明が出来たことになります。

距離空間の話だともう少しわかりやすく想像できるのではないでしょうか。すなわちA⊂Bがあってcl(A)⊃B[clは閉包とします]を示すのに、cl(A)というのはようするにcl(A)の中にAがdenseに入っているということなので、cl(A)の元はAで近似できるということです。逆に言うとAの収束列はすべてcl(A)に入ります（それが閉集合の定義のひとつでもありますよね。収束列の極限を必ず含むというのが）。

お礼

お礼をいうのが遅くなって申し訳ありません。ありがとうございました。大変よく分かりました。{Xn}に収束する点列をそんなふうに定義すればよかったなんて気づきませんでした。ありがとうございます。