ルベーグ可測関数であることの証明
C^2は2次元の複素数体とする。
φ≠E⊂C^2はコンパクトでEの第一射影,第二射影を夫々A:=proj_1E,B:=proj_2E(この時,E⊂A×Bとなります),
f:E→Cは連続でfはBで偏導関数可能と仮定します。
この時,
g(y):=sup{|(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)|∈[0,+∞);z_0≠z∈B}と置くと,g:A→[0,+∞]はルベーグ可測関数になる事を示したいのですが,
どうすればいいでしょうか?
一応,下記のように考えました。
h(y):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)(∈C)と置くと,h(y)は連続なので|h(y)|も連続ですよね。
この時,g(y)も連続になる事が言えればお仕舞いだと思うのですが。。
fの連続性からg(y)も連続になりますね。 よって,任意のr∈Rに対して,もしr=inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B＼{z_0})}なら
{y∈A;g(y)>r}は閉集合でr>inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B＼{z_0})}なら{y∈A;g(y)>r}は開集合になりますよね。
従って,gは可測関数になると思うのですがこれで正しいでしょうか?
補足
ちょっとよく分からないので教えてください