最小分解体

質問

ｆ（X）＝（X^4+X^2-6)(X^3-7)∈Ｑ[X]とする。（C[X]においては、f(X)は一次式に分解する。）

f(X)のR上の最小分解体Lとその拡大次数[L:R]を求めよ。
Lはなるべくわかりやすく与えること。

ちなみに定義として
拡大K/Fにおいて、KはF上のベクトル空間とみなせる。Fベクトル空間としてのKの基底、および次元をKのF-基底、K/Fの拡大次数と言い、拡大次数を[K:F]と書く。

この問題がわかりません。前にもR上の最小分解体ではなく、Q上の最小分解体について答えていただいたのですが、R上の場合はどうなるのでしょうか。解ける方いたらよろしくお願いします

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

Qの場合に比べればずっと状況は単純です。

実数体Rの拡大体は(R自身を除けば)複素数体Cのみです。
それはCが代数的閉体だからです(=代数学の基本定理)

さっきのQの場合の回答でも見た通り、f(X)の因子には X^2+3 などR上既約な多項式がありますから、
最小分解体はRではない、すなわちCで、拡大次数[C:R]=2です。

お礼

度々わかりやすい解説ありがとうございます。非常に助かりました。