このような関数が可測関数である事の証明がわかりませ

質問

宜しくお願いいたします。

B(C)を複素数体C上のボレルσ集合体を表すものとします。
更にE,F∈B(C),p∈F,f:E×F→Cは(E＼N)×Fで連続とし(Nは零集合),fはpで偏微分可能とします。

g:E→[0,+∞)をE∋∀x→g(x):=sup{|(f(x,y)-f(x,y_0))/(y-y_0)|∈R;y∈F}と定義します。

この時,gは可測関数である事を証明するにはどうすればいいでしょうか?

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

B(C)を複素数体C上のボレルσ集合体を表すものとする
更にE,F∈B(C),p∈F,f:E×F→Cは(E＼N)×Fで連続とし(Nは零集合),fはpで偏微分可能とする
h:E×F→[0,+∞)を
h(x,y)=|(f(x,y)-f(x,p))/(y-p)|,(y∈F＼{p}の時)
h(x,p)=|f_y(x,p)|
と定義する
{h(x,y)∈R;y∈F}は上に有界とする
g:E→[0,+∞)をE∋∀x→g(x):=sup{h(x,y)∈R;y∈F}と定義する

g(x)≧0
だから
実数r<0に対して
{x∈E;g(x)≦r}=φ∈B(C)

実数r≧0に対して
{x∈E＼N;g(x)≦r}
={x∈E＼N;y∈F→h(x,y)≦r }
↓H_y={x∈E＼N;h(x,y)≦r }とすると
=∩_{y∈F}H_y

f:E×F→Cは(E＼N)×Fで連続だから
h:E×F→[0,+∞)も(E＼N)×Fで連続だから
(-∞,r]={s∈R;s≦r}はRの閉集合だから
h^{-1}((-∞,r])={(x,y)∈(E＼N)×F;h(x,y)≦r}も(E＼N)×Fで閉
H_y×{y}=h^{-1}((-∞,r])∩[(E＼N)×{y}]も(E＼N)×Fで閉
H_yも(E＼N)で閉
{x∈E＼N;g(x)≦r}=∩_{y∈F}H_yも(E＼N)で閉
∴
{x∈E＼N;g(x)≦r}∈B(C)
∴
gは可測関数である

お礼

大変有難うございます。
納得できました。お蔭様で漸く解決できました。

回答No.1

jcpmutura

y_0
が未定義です
y_0=p
だと推定します

y=pの時
|(f(x,y)-f(x,p))/(y-p)|は定義できないので
y∈F
ではなく
y∈F＼{p}
だと推定します

例えば
F=C
は測度∞の可測集合
f(x,y)=y^2
とすると
g(x)
=sup{|(f(x,y)-f(x,p))/(y-p)|;y∈F＼{p}}
=sup{|(y^2-p^2)/(y-p)|;y∈F＼{p}}
=sup{|y+p|;y∈F＼{p}}
=+∞
となって+∞は実数でないので
g:E→[0,+∞)
を定義できません

お礼

再度、大変申し訳ありません。
Fが有界と仮定するのではなく、g(E)が有界と仮定するのでした。
これでいかがでしょうか?

補足

誠にすみませんでした。
Fは有界でy_0=pです。
そして(f(x,y)-f(x,p))/(y-p)がy=pの時にはfのyについてのy=pにおける偏微分係数と定義します。
これでいかがでしょうか?